Tożsamość Bézouta a. lemat Bézouta – tożsamość algebraiczna polegająca na tym, że dla niezerowych liczb całkowitych oraz o największym wspólnym dzielniku istnieją liczby całkowite oraz nazywane liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta, które spełniają liniowe równanie diofantyczne

Ponadto jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania całkowite oraz powyższego równania.

Nazwa pochodzi od Étienne’a Bézouta.

Pierwszy dowód dla liczb całkowitych można znaleźć już w pracach francuskiego matematyka Claude’a-Gasparda Bacheta de Méziriac (1581–1638)^[1], mianowicie w drugim wydaniu Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres z 1624 roku. Étienne Bézout (1730–1783) uogólnił tożsamość, obejmując tym przypadek wielomianów, dowodząc znacząco więcej. W wyniku jednego z częstych przypadków w matematyce nazwisko Bézouta zostało błędnie skojarzone z wynikiem Bacheta: niekiedy jednak spotyka się nieco sprawiedliwszą nazwę twierdzenia Bacheta-Bézouta tego lematu; nazwa twierdzenie Bézouta odnosi się wtedy do faktu, iż równanie

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby całkowite oraz są względnie pierwsze.

Liczby Bézouta i można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, nie są one jednak wyznaczone jednoznacznie: jeśli dane jest rozwiązanie to istnieje ich nieskończenie wiele i są one postaci

Największym wspólnym dzielnikiem i jest Tożsamość Bézouta mówi, że musi istnieć całkowite rozwiązanie na oraz następującego równania:

Jednym z tych rozwiązań jest oraz istotnie: Innym rozwiązaniem jest np. oraz

Jeden z dowodów^[2] tożsamości Bézouta wykorzystuje algorytm dzielenia z resztą i fakt dobrego uporządkowania zbioru dodatnich liczb całkowitych. Niech i będą dowolnymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych postaci gdzie oraz są liczbami całkowitymi. Zbiór jest niepusty, co oznacza, że na mocy dobrego jego uporządkowania istnieje element najmniejszy,

Na mocy algorytmu dzielenia z resztą istnieją również takie liczby całkowite oraz dla których przy czym Jednakże

Jeśli jest dodatnia, tzn. to co przeczy temu, że jest najmniejszym elementem Stąd i w konsekwencji co oznacza, że dzieli

Podobnie (stosując algorytm dzielenia dla b w miejsce a) okazuje się, że dzieli W ten sposób jest wspólnym dzielnikiem oraz Jeśli jest innym wspólnym dzielnikiem, to dzieli również co z definicji oznacza, że jest największym wspólnym dzielnikiem oraz

Tożsamość Bézouta można rozszerzyć na kombinacje liniowe więcej niż dwóch liczb: dla dowolnych liczb o największym wspólnym dzielniku równym istnieją takie liczby całkowite że

Największy wspólny dzielnik jest w istocie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, którą można zapisać jako kombinację liniową W szczególności więc liczby są względnie pierwsze (jako całość), gdy istnieją liczby całkowite dla których

Tożsamość Bézouta obowiązuje nie tylko w pierścieniu liczb całkowitych, ale również w dowolnej dziedzinie ideałów głównych. Dokładniej: jeśli jest dziedziną ideałów głównych, zaś oraz są elementami a jest ich największym wspólnym dzielnikiem, to istnieją elementy oraz należące do dla których zachodzi Wynika to z faktu, iż ideał jest główny i istotnie jest równy Tożsamość Bézouta jest więc tam wynikiem przyjętej definicji.

Tożsamość Bézouta wyznacza klasę pierścieni: pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta, jeśli każdy skończenie generowany ideał tego pierścienia jest główny. Oczywiście tożsamość Bézouta obowiązuje w każdym pierścieniu Bézouta.

Twierdzenie

Niech dana będzie skończona rodzina wielomianów z których choć jeden jest niezerowy. Jeśli oznacza największy wspólny dzielnik tej rodziny, to istnieje rodzina wielomianów dla której zachodzi równość

W szczególności wielomiany są względnie pierwsze (jako całość) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina które spełniają równość

• Kalkulator online (ang.) tożsamości Bézouta.