Teoria punktów stałych
Teoria punktów stałych – dział matematyki zajmujący się równaniami postaci f(x)=x, gdzie f jest pewną funkcją. Podstawowe zagadnienie tej teorii to pytanie, przy jakich założeniach o zbiorze X i o funkcji powyższe równanie ma rozwiązanie, zwane punktem stałym. Bada się też własności zbiorów jego rozwiązań.
Problem ten ma wiele wariantów, gdyż:
- rozważana dziedzina może mieć najróżniejsze struktury – może to być np. przestrzeń topologiczna, metryczna lub zbiór uporządkowany;
- rozważana funkcja może mieć najróżniejsze własności – może być ciągła, zwężająca lub monotoniczna;
- funkcja f może działać z pewnego podzbioru w całą przestrzeń; zob. np. alternatywa Leraya-Schaudera dla przestrzeni Banacha.
Przez to teoria punktów stałych przenika się z innymi dyscyplinami jak analiza, topologia czy teoria porządku.
Udowodniono szereg twierdzeń o punkcie stałym – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi twierdzenie Brouwera[1]. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma własność punktu stałego w sensie topologii; przykład to twierdzenie Schaudera-Tichonowa. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniom[2].
Miejsce wśród innych dyscyplin
Teoria punktów stałych nie jest osobną kategorią w spisie MSC 2020, jednak są w nim działy zawierające w nazwie punkty stałe, m.in. w sekcjach:
- 32: Several complex variables and analytic spaces,
- 32H: Holomorphic mappings and correspondences,
- 37: Dynamical systems and ergodic theory,
- 37C: Smooth dynamical systems: general theory,
- 37J: Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems,
- 47: Operator theory,
- 54: General topology,
- 55: Algebraic topology,
- 55M: Classical topics in algebraic topology,
- 58: Global analysis, analysis on manifolds[3].
Przypisy
- ↑ L.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.
- ↑ Journal of Fixed Point Theory and Applications, springer.com [dostęp 2023-08-25].
- ↑ 2020 Mathematics Subject Classification (ang.), mathscinet.ams.org [dostęp 2023-08-25].
Literatura
- Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-00173-5.
- Ravi P. Agarwal, Maria Meehan, Donal O'Regan, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-051154300-5.