Rozszerzenie normalne – w teorii ciał rozszerzenie ciała o zbiór pierwiastków pewnej rodziny wielomianów.

Jerzy Browkin wyprowadza pojęcie rozszerzenia normalnego ciała w następujący sposób. Niech dane będzie pewne wyjściowe ciało oznaczane Można dla niego skonstruować pierścień wielomianów, oznaczany z kolei Następnie z tegoż pierścienia wybrać można dowolny podzbiór wielomianów, dla której to rodziny wielomianów z kolei matematyk wprowadza oznaczenie W końcu zbiór wszystkich pierwiastków wielomianów rodziny autor oznacza przez Dowolny element wzięty z jest więc pierwiastkiem pewnego wielomianu należącego do ^[1]. Jako pierwiastek takiego wielomianu stanowi element algebraiczny nad ciałem ^[2]. Tak więc zbiór zawiera te elementy domknięcia algebraicznego dla których istnieje należący do wielomian który znika dla tych elementów, co zapisuje się jako ^[1].

Ciało rozkładu wielomianów należących do nazywa się wtedy rozszerzeniem normalnym ciała Inaczej mówiąc, ciało stanowi rozszerzenie normalne ciała wtedy i tylko wtedy, gdy zachowując definicję A z paragrafu powyżej^[1].

Jako że rozszerzenie algebraiczne oznacza rozszerzenie danego ciała o elementy doń algebraiczne^[3], czyli będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu ^[3], rozszerzenie normalne ciała – o pewne pierwiastki wybranych wielomianów – z definicji musi być algebraiczne^[1].

Wybrawszy dowolny niezerowy wielomian rozważać można ciało rozkładu tego wielomianu. Otrzymane w ten sposób rozszerzenie ciała będzie skończone i normalne. Co więcej, własności te wiąże nie tylko implikacja, ale i równoważność. Mianowicie każde rozszerzenie ciała jeśli jest zarazem skończone, jak i normalne, musi być ciałem rozkładu pewnego wielomianu ^[1].

Własności tej dowodzi się następująco. Dla wybranego ciała bierze się pewną rodzinę wielomianów w ten sposób, iżby stanowiło złożenie ciał rozkładu wielomianów należących do Można to zrobić, jako że jest rozszerzeniem normalnym ciała wtedy po prostu pamiętając, że przez oznaczono zbiór pierwiastków wielomianów z ^[1].

Następnie korzysta się z faktu, że jest rozszeniem skończonym ciała Skoro tak, to istnieje skończony zbiór taki, że po rozszerzeniu o jego elementy otrzymuje się Ponieważ jest rozszerzeniem o elementy zbioru rozpatrywany zbiór musi zawierać się w Nie trzeba tutaj brać koniecznie całego zbioru wystarczy jego maksymalny liniowo niezależny podzbiór^[1].

Dla każdego elementu zbioru bierze się następnie taki wielomian który po podstawieniu doń przyjmuje wartość (musi on istnieć, bo jest rozszerzeniem o pierwiastki wielomianów z ). Wielomiany te można ze sobą pomnożyć, otrzymując wielomian Oczywiście tak zdefiniowany wielomian Ciało rozkładu tegoż wielomianu stanowi złożenie ciał rozkładów wszystkich wielomianów od do Tak więc Co więcej, każde z rozpatrywanego wyżej zbioru należeć musi do wobec czego i Z obustronnego zawierania się wywodzi się, że Jako że przez oznaczono ciało rozkładu pewnego wielomianu to samo tyczy się tożsamego z nim QED^[1].

Dla danego ciała posiadającego rozszerzenie algebraiczne dowodzi się, że jest rozszerzeniem normalnym ciała wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego -zanurzenia przekształcającego w domknięcie algebraiczne Każdy z tych warunków równoważny jest trzeciemu: każdy nierozkładalny wielomian z o pierwiastku w ciele rozkłada się w tym ostatnim na wielomiany liniowe z ^[1].

Równoważności tych dowodzi się razem^[1]. Wpierw -zanurzenie przekształca w Biorąc element będący pierwiastkiem podstawia się doń które z własności -zanurzenia równe jest czyli Umieszcza to pośród pierwiastków Tak więc rozpatrywane zanurzenie przekształca zbiór pierwiastków z na ten sam zbiór. Wobec tego zbiór pierwiastków wielomianów (zgodnie z powyżej przyjętymi oznaczeniami) również przekształcony zostanie w Jako że w takim razie to W ten sposób otrzymuje się drugą własność z pierwszej^[4].

By otrzymać trzecią własność z drugiej, oznacza się przez pierwiastek wielomianu nierozkładalnego Inny jego pierwiastek oznacza się jako Istnieje -izomorfizm przekształcający ciało w ciało który z kolei rozszerzyć można do izomorfizmu z w (gdyż te właśnie ciała zawierają wspomniane pierwiastki). Korzystając z tego, że jak również z tego, że nie różni się od równego z kolei wnioskuje się, że musi się zawierać w Tak i Jako że nie nakładano żadnych dodatkowych ograniczeń na musi to dotyczyć dowolnego pierwiastka Skoro więc każdy pierwiastek wielomianu należy do ciała to musi być ten wielomian rozkładalny na wielomiany liniowe z ^[4].

• Rozszerzenie jest normalne, bo jest ciałem rozkładu wielomianu

• JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977  (pol.).