Rozkład jedności
Rozkład jedności – pojęcie używane w matematyce m.in. w topologii, analizie oraz geometrii różniczkowej.
Definicja
Rodzinę funkcji ciągłych określonych na przestrzeni topologicznej nazywamy rozkładem jedności, o ile dla każdego zachodzi Z warunku tego wynika w szczegolności, że przy ustalonym zbiór jest przeliczalny[1].
![{\displaystyle f_{s}\colon X\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017287681d9abdd11873aa55d7aafc0c6184c462)
Rodzaje rozkładów jedności
- Jeżeli pokrycie przestrzeni jest lokalnie skończone, to mówimy, że taki rozkład jedności jest lokalnie skończony.
- Jeżeli pokrycie jest wpisane w pokrycie przestrzeni to mówimy, że rozkład jedności jest drobniejszy od pokrycia [1].
![{\displaystyle \{f_{s}^{-1}((0,1])\}_{s\in S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb1262b0df9355124f294edc10947ab983e5ee1)
Zastosowania
- Ważnym w topologii zastosowaniem rozkładów jedności jest charakteryzacja przestrzeni parazwartych. Dokładniej, dla -przestrzeni następujące warunki są równoważne:
- a) Przestrzeń jest parazwarta.
- b) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni istnieje drobniejszy od niego lokalnie skończony rozkład jedności.
- c) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni istnieje drobniejszy od niego rozkład jedności[1].
Przypisy
- ↑ a b c Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 348–349. ISBN 978-83-01-15254-3.