Reguła znaków Kartezjusza

Reguła znaków Kartezjusza – twierdzenie algebry dotyczące wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Mówi ono o liczbie dodatnich miejsc zerowych takich funkcji, a w konsekwencji pozwala oszacować też liczbę pierwiastków ujemnych, wszystkich rzeczywistych oraz z innego zakresu. W pewnych przypadkach reguła ta podaje dokładną liczbę miejsc zerowych w niektórych przedziałach, np. o określonym znaku.

Reguła znaków mówi o wielomianach jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach $(f\in \mathbb {R} [X]),$ uporządkowanych według malejących potęg zmiennej: $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}.$ Twierdzenie to szacuje liczbę $p$ dodatnich pierwiastków tego wielomianu $(f(x_{0})=0,x_{0}>0),$ liczonych wraz z krotnością. Reguła znaków wiąże $p$ z liczbą $s$ zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu; zgodnie z twierdzeniem $p$ jest równe $s$ lub mniejsze od niego o liczbę parzystą: $p\leqslant s,\ 2|(s-p),$ krótko: $s-p\in 2\mathbb {N} .$ W szczególności: jeśli $s$ wynosi zero lub jeden, to również $p$ wynosi odpowiednio zero lub jeden^[1].

Problem ten badał Kartezjusz^[2]; w dziele Geometria przedstawił tę regułę, choć pierwszy poświadczony dowód jest późniejszy. Podał go w XVIII wieku Jean Paul de Gua de Malves, a pełne sformułowanie – opisane niżej – podał w XIX wieku Carl Friedrich Gauss^[3]. Twierdzenie to można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, twierdzenia Rolle’a i własności pochodnych wielomianów^[1]. Nazwa reguły pojawiła się najpóźniej w 1809 roku w języku angielskim^[4].

Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Sturma, znajdujące liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w dowolnym przedziale liczbowym – nie tylko w dwóch nieskończonych przedziałach wszystkich liczb dodatnich $(\mathbb {R} _{+})$ lub ujemnych $(\mathbb {R} _{-}).$

Przykłady

Przykład trójmianu kwadratowego

W wielomianie

f(x)=x^{2}-2x+1

mamy dwie zmiany znaku, zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki. W istocie ma jeden dwukrotny: $f(x)=(x-1)^{2}.$

Przykład funkcji kubicznej

W wielomianie

g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1

zachodni jedna zmiana znaku – między drugim a trzecim składnikiem $(+x^{2}-x).$ Stąd wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:

g(x)=(x+1)^{2}(x-1),

−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.

Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymuje się wielomian:

g(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.

Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.

Przykład wielomianu 4. stopnia

Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:

h(x)=x^{4}+2x^{3}-x^{2}+5x-1

mają znaki: +, +, −, +, −,, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu $x$ przez $-x$ pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu $x$ przez $x+h$ pierwiastki zmniejszają się o $h,$ to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych od $h.$ W powyższym przykładzie zastąpienie $x$ przez $-x$ daje:

h(-x)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}-5x-1,

tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie $x$ przez $x+1$ daje:

x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+13x+6,

skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych od 1.

Konsekwencje i zastosowania

Reguła ta umożliwia też oszacowanie liczby $q$ ujemnych pierwiastków wielomianu $f$ ^[3]^[5]. Sprowadza się to do sprawdzenia analogicznej wielkości $s_{-}$ dla wielomianu $f(-x),$ czyli po zmianie na przeciwne znaków współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej: $f(-x)=a_{0}-a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}(-x)^{n}.$ Ponadto zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że łączna liczba zespolonych pierwiastków wielomianu – licząc krotności – jest równa jego stopniowi $(\deg f),$ co pozwala znaleźć też liczbę pierwiastków poza osią rzeczywistą $(x_{0}\notin \mathbb {R} ){:}$ $n-p-q.$ Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu są rzeczywiste $(p+q=n),$ to $p=s$ ^[6].

Przypisy

↑ ^a ^b MichałM. Tarnowski MichałM., Reguła znaków Kartezjusza, „Delta”, czerwiec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-19] .
↑ Sęp 1972 ↓, s. 48.
↑ ^a ^b Descartes’s rule of signs, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-03-21] (ang.).
↑ Jeff Miller, Descartes’ rule of signs, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-06].
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Descartes’ Sign Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-03-21].
↑ Descartes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-03-21].

Bibliografia

Zbigniew Sęp: Descartes (Kartezjusz) René, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Literatura dodatkowa

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN.

Linki zewnętrzne

Xiaoshen Wang, A Simple Proof of Descartes’s Rule of Signs (ang.), The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6 (Jun. – Jul., 2004), pp. 525-526, Taylor & Francis, Ltd. [dostęp 2023-06-05].

[delta-1] MichałM. Tarnowski MichałM., Reguła znaków Kartezjusza, „Delta”, czerwiec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-19] .

[CITEREFSęp197248-2] Sęp 1972 ↓, s. 48.

[brit-3] Descartes’s rule of signs, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-03-21] (ang.).

[4] Jeff Miller, Descartes’ rule of signs, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-06].

[5] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Descartes’ Sign Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-03-21].

[6] Descartes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-03-21].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: