Eisspeedway

Rachunek różnicowy

Podstawowe typy różnic skończonych

Trzy typy różnic skończonych: backward (w tył), central (centralna), forward (w przód). Różnica centralna wokół x daje najlepsze przybliżenie pochodnej funkcji w punkcie .

Podstawowym pojęciem rachunku różnicowego jest pojęcie różnic skończonych. Rozważa się trzy podstawowe typy różnic skończonych: różnica w przód, różnica w tył oraz różnica centralna.

Różnica w przód dla funkcji używa wartości funkcji w punktach i :

W zależności od zastosowania odległość może być zmienna lub stała.

Gdy nie jest podane, domyślnie przyjmuje wartość 1, czyli

Różnica w tył używa wartości funkcji w punktach i , zamiast wartości w punktach i :

Różnica centralna określona wzorem:

Pochodna funkcji jednej zmiennej i wzór różnicowy

Pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej pochodną definiuje się za pomocą granicy ilorazu różnicowego

W matematyce dyskretnej odpowiednikiem tego wzoru jest wzór różnicowy:

Różnice skończone dla funkcji wielu zmiennych

Oblicza się także różnice skończone w przypadku funkcji wielu zmiennych; są one dyskretnym odpowiednikiem pochodnych cząstkowych. Np. dla pochodnych pierwszego i drugiego rzędu mamy następujące wzory:

Rachunek różnicowy na funkcjach ze zbioru liczb naturalnych

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej pochodną definiuje się jako

W dziedzinie ciągów liczbowych czy w kombinatoryce operujemy na funkcjach o dziedzinie liczb naturalnych, W tym przypadku do wartości możemy się zbliżyć najbliżej na odległość równą 1, czyli obliczamy Dlatego

Odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tu tzw. potęga krocząca ubywająca lub przyrastająca Działanie operatora na funkcję daje w wyniku:

Jest to wzór analogiczny do pochodnej funkcji potęgowej

Operator podobnie jak operator jest przekształceniem liniowym:

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

co przypomina wzór na całkę

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Zobacz też

Bibliografia

W języku polskim

  • Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
  • D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
  • J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.
  • A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.

W innych językach

Linki zewnętrzne