Punkt ekstremalny

Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt $e\in K$ jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego $K,$ gdy równość

e=\lambda x+(1-\lambda )y

dla pewnych $x,y\in K$ oraz $\lambda \in [0,1]$ implikuje, że $e=x$ lub $e=y$ ^[1]. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\mathrm {ext} \,K.$

Charakterystyka

Niech $K$ będzie wypukłym podzbiorem rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej $X$ oraz $e\in K.$ Wówczas następujące warunki są równoważne^[2]:

$e\in \mathrm {ext} \,K,$
jeżeli $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=(x+y)/2,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
jeżeli $\lambda \in [0,1]$ oraz $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=\lambda x+(1-\lambda )y,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
jeżeli $F$ jest skończonym podzbiorem $K$ oraz $e$ należy do otoczki wypukłej zbioru $F,$ to $e\in F,$
zbiór $K\setminus \{e\}$ jest wypukły.

Przykłady

Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnym^[3]. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K

^[4].

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas $X$ jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa $X$ jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
Niech $\mu$ będzie miarą $\sigma$ -skończoną oraz niech $B_{p}$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $L_{p}(\mu )$ , gdzie $1\leqslant p\leqslant \infty .$ Wówczas
- punkty ekstremalne $B_{1}$ są postaci $\lambda \cdot \mathbb {1} _{A},$ gdzie $A$ jest atomem miary $\mu$ oraz $\lambda$ jest takim skalarem, że $|\lambda |=\mu (A)^{-1},$
- gdy $1<p<\infty ,$ zbiorem punktów ekstremalnych $B_{p}$ jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie $1,$
- zbiór punktów ekstremalnych $B_{\infty }$ składa się z funkcji $f,$ które spełniają warunek $|f(\omega )|=1$ dla prawie wszystkich $\omega$ ^[5].

W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni

L_{1}[0,1]

nie ma punktów ekstremalnych.

W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C[0,1]$ rzeczywistych funkcji ciągłych na $[0,1],$ punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe $1$ bądź $-1,$ tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C_{b}(X)$ ograniczonych funkcji skalarnych na $X$ są funkcje spełniające warunek $|f(x)|=1$ dla wszystkich $x\in X$ ^[5].
Niech $H^{\infty }$ oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole $|z|<1$ z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji $f\in H^{\infty },$ które mają normę co najwyżej $1$ oraz

\int _{-\pi }^{\pi }\log[1-f(e^{i\theta })]\,\mathrm {d} \theta =-\infty

^[6].

Brak punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej $c_{0}$

Niech $B$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $c_{0}$ , tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do $0.$ Niech $x\in B.$ Istnieje wówczas takie $N,$ że dla $n>N$ zachodzi $|x_{n}|<1/2.$ Niech $c,d$ będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają $c_{n}=d_{n}=x_{n}$ dla $n=1\ldots N$ oraz $c_{n}=x_{n}+2^{-n},$ $d_{n}=x_{n}-2^{-n}$ dla $n>N.$ Tak zdefiniowane ciągi $c,d$ należą do $B,$ są różne od $x$ oraz $x=(c+d)/2,$ co oznacza, że $x$ nie jest punktem ekstremalnym $B$ ^[7].

Twierdzenia dotyczące punktów ekstremalnych w analizie funkcjonalnej

Twierdzenie Krejna-Milmana: Niech $K$ będzie zwartym i wypukłym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej. Wówczas

K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\mathrm {ext} \,K,

tj.

K

jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

Twierdzenie Milmana: Niech $K$ będzie zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że domknięcie otoczki wypukłej $K$ jest zwarte. Wówczas

\mathrm {ext} \,{\overline {\mathrm {conv} }}\,K\subseteq K

^[8].

W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli

K

jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru

K

zawiera się w

K

^[9].

Każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny^[10].
Twierdzenie Rainwatera: Niech $(x_{n})$ będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha $X.$ Wówczas ciąg ten jest słabo zbieżny do pewnego elementu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego $f$ kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*}$ zachodzi warunek

\lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle =\langle f,x\rangle

^[10].

Niech $A$ będzie $C^{*}$ -algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w $A$ jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula $A$ ma punkt ekstremalny, to algebra $A$ ma jedynkę^[11]. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego $p\neq 2,$ kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni $\ell _{p}$ ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki^[12].

Przypisy

↑ Conway 2012 ↓, s. 145.
↑ Conway 2012 ↓, s. 146.
↑ Megginson 1998 ↓, s. 270.
↑ Schneider 1993 ↓, s. 18.
↑ ^a ^b Conway 2012 ↓, s. 148.
↑ Hoffman 2014 ↓, s. 138.
↑ Conway 2012 ↓, s. 147.
↑ Megginson 1998 ↓, s. 268–269.
↑ Megginson 1998 ↓, s. 269.
↑ ^a ^b Diestel i Uhl 1977 ↓, s. 190.
↑ Takesaki 1979 ↓, s. 147–149.
↑ J. Hennefeld, Compact extremal operators, Il. J. Math. 21 (1977), 61–65.

Bibliografia

John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5. OCLC 472303305. (ang.).
Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
Kenneth Hoffman: Banach Spaces of Analytic Functions. Courier Corporation, 2014. ISBN 978-0486458748.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.
Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer-Verlag, 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. OCLC 495494749. (ang.).

[CITEREFConway2012145-1] Conway 2012 ↓, s. 145.

[CITEREFConway2012146-2] Conway 2012 ↓, s. 146.

[CITEREFMegginson1998270-3] Megginson 1998 ↓, s. 270.

[CITEREFSchneider199318-4] Schneider 1993 ↓, s. 18.

[CITEREFConway2012148-5] Conway 2012 ↓, s. 148.

[CITEREFHoffman2014138-6] Hoffman 2014 ↓, s. 138.

[CITEREFConway2012147-7] Conway 2012 ↓, s. 147.

[CITEREFMegginson1998268–269-8] Megginson 1998 ↓, s. 268–269.

[CITEREFMegginson1998269-9] Megginson 1998 ↓, s. 269.

[CITEREFDiestelUhl1977190-10] Diestel i Uhl 1977 ↓, s. 190.

[CITEREFTakesaki1979147–149-11] Takesaki 1979 ↓, s. 147–149.

[12] J. Hennefeld, Compact extremal operators, Il. J. Math. 21 (1977), 61–65.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: