Przestrzeń Tichonowa

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej $X$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego podzbioru

F

przestrzeni

X

i dowolnego punktu

x\in X\setminus F

można znaleźć taką funkcję ciągłą

f\colon X\longrightarrow [0,1],

że

f(x)=0

i

f(y)=1

dla wszystkich punktów

y

ze zbioru

F.

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią $T_{3{\frac {1}{2}}}$ i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
przestrzenie normalne,
grupy topologiczne będące przestrzeniami T₁,
płaszczyzna Niemyckiego.

Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T_3½ jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T₄.

Znane są przykłady przestrzeni T₃, które nie są całkowicie regularne. Na przykład podzbiór

M=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}

płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń ${\mathcal {B}}(x,y)$ określoną dla każdego elementu $(x,y)$ zbioru $M$ i opisaną warunkami:

jeśli $y>0,$ to ${\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},$
jeśli $y=0,$ to ${\mathcal {B}}(x,y)$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci

\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,

gdzie

B

jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru

M,

${\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},$ gdzie

U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:i\leqslant u\}.

jest przestrzenią T₃, która nie jest przestrzenią T_3½^{[potrzebny przypis]}.

Własności

Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T₃.
Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T_3½ jest przestrzenią T_3½.
Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źródeł zainteresowania przestrzeniami T_3½, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

Zobacz też

Przypisy

↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 120.
↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989, s. 39. ISBN 3-88538-006-4.

[1] Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 120.

[2] Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989, s. 39. ISBN 3-88538-006-4.

[1]

[2]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: