Eisspeedway

Przekształcenie Abela

Przekształcenie Abela (tożsamość Abela) – tożsamość algebraiczna zachodząca dla skończonych ciągów liczbowych (bądź ogólniej, elementów pierścienia przemiennego).

Niech $(a_{j})_{j=1}^{n},$ $(b_{j})_{j=1}^{n}$ będą ciągami liczbowymi.

Oznaczmy

A_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.

Wówczas zachodzi wzór:

\sum _{j=m+1}^{m+k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=m+1}^{m+k}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})-A_{m}b_{m+1}+A_{m+k}b_{m+k+1}.

W szczególności, gdy $m=0,$ $b_{k+1}=0{:}$

\sum _{j=1}^{k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=1}^{k-1}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{k}b_{k}.

Dowód

Dla każdego $l\leqslant n$ mamy

a_{l}b_{l}=(A_{l}-A_{l-1})b_{l}=A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{l}b_{l+1}-A_{l-1}b_{l}.

Po zsumowaniu i zredukowaniu wyrazów występujących w kolejnych wyrażeniach z przeciwnymi znakami otrzymujemy tezę.

Wnioski

Jeśli $b_{n}$ jest ciągiem nierosnącym nieujemnym, to spełniona jest nierówność:

\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leqslant Ab_{1}

gdzie:

A=\max \left(|a_{1}|,|a_{1}+a_{2}|,\dots ,\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\right).

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Lev Kourliandtchik: Wędrówki po krainie nierówności. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2000. ISBN 83-87329-11-8.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Summation by Parts, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Abel transformation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].

p
d

Tożsamości algebraiczne

iloczyny
sum kwadratów

ustalonej liczby składników	tożsamość Diofantosa-Fibonacciego tożsamość czterech kwadratów Eulera tożsamość Degena
dowolnej liczby składników	tożsamość Lagrange’a

inne
iloczyny sum

szczególnych	dwumian Newtona symbol Newtona trójkąt Pascala tożsamość Bineta-Cauchy’ego tożsamość Brahmagupty tożsamość Sophie Germain
dowolnych	tożsamość Czebyszewa

inne

uczeni według
daty narodzin

starożytni i średniowieczni	Diofantos Brahmagupta Fibonacci
XVII wiek	Blaise Pascal
XVIII wiek	Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange Carl Ferdinand Degen^(en) Sophie Germain Augustin Louis Cauchy Jacques Philippe Marie Binet
XIX wiek	Niels Henrik Abel Pafnutij Czebyszew

Quelle: https://pl.wikipedia.org/wiki/Przekszta%C5%82cenie_Abela