Część wspólna

Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy^[1] – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje

Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A,$ które należą również do $B$ ^[2]^[3]. Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana przez $A\cap B.$ Tak więc:

x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)

^[2]^[4]^[5],

co jest równoważne zapisowi

A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}

^[6]^[7],

gdzie $\Omega$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią^[8]^[9] lub uniwersum^[10].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli ${\mathcal {A}}$ jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór $\bigcap {\mathcal {A}}$ elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny ${\mathcal {A}}$ ^[11]:

x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.

Można to równoważnie zapisać jako

\bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}

^[12].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_{i})_{i\in I},$ gdzie zbiór indeksów $I$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},

co jest równoważne

a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}

^[13]^[14].

Przykłady

Niech $\mathbb {N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $P$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas $\mathbb {N} \cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

\mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2

dzieli

n\}.

$(0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,$ ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$
$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}$
Niech ${\mathfrak {A}}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).$ Wówczas

\bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

$\bigcap \{A\}=A=A\cap A,$
$\bigcap \{A,B\}=A\cap B,$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ ^[2] (łączność),
$A\cap B=B\cap A$ ^[2] (przemienność),
$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ oraz $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$ ^[15] (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ oraz $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$ ^[16] (prawo De Morgana).

Ponadto,

$A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B=A.$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_{i}:i\in I\},$ $\{B_{i}:i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I,J,K$ są niepuste. Niech $D$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

$\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap _{i\in I}B_{i}$ ^[17]
$\bigcap _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})$
$D\cap \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap D)$ ^[18]
$D\cup \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup D)$ ^[18]
$D\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_{i}$ ^[19]
$\bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}C_{j,k}$
$\bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}C_{j,k}$

Związek z funkcjami

Dla dowolnej funkcji $f\colon X\longrightarrow Y,$ dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_{i}:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_{j}:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y,$ zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

$f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]$ ^[20] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
$f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]$ ^[21] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym

Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego $U$ (tzw. uniwersum) oraz ${\mathcal {P}}(\mathbf {U} )$ jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru $U,$ to

({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór $U$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej $\cap .$

Zapis

\bigcap {\mathcal {A}},

gdy ${\mathcal {A}}=\varnothing$ (tzn. gdy ${\mathcal {A}}$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu^[22].

Zobacz też

Przypisy

↑ iloczyn zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .
↑ ^a ^b ^c ^d Rasiowa 1975 ↓, s. 15.
↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 19.
↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 20.
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.
↑ Leitner 1999 ↓, s. 39.
↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 46.
↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 47.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 53.
↑ Kuratowski 1980 ↓, s. 43.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 17.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 19.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 56.
↑ ^a ^b Rasiowa 1975 ↓, s. 55.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 58.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 81.
↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 78.
↑ Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓, s. 33.

Bibliografia

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

[epwn-1] iloczyn zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .

[CITEREFRasiowa197515-2] Rasiowa 1975 ↓, s. 15.

[CITEREFKuratowski198019-3] Kuratowski 1980 ↓, s. 19.

[CITEREFKuratowski198020-4] Kuratowski 1980 ↓, s. 20.

[CITEREFKuratowskiMostowski19527-5] Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.

[CITEREFLeitner199939-6] Leitner 1999 ↓, s. 39.

[CITEREFRossWright199625-7] Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.

[CITEREFKuratowskiMostowski195218-8] Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.

[CITEREFRasiowa197521-9] Rasiowa 1975 ↓, s. 21.

[CITEREFRossWright199627-10] Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.

[CITEREFKuratowskiMostowski195246-11] Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 46.

[CITEREFKuratowskiMostowski195247-12] Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 47.

[CITEREFRasiowa197553-13] Rasiowa 1975 ↓, s. 53.

[CITEREFKuratowski198043-14] Kuratowski 1980 ↓, s. 43.

[CITEREFRasiowa197517-15] Rasiowa 1975 ↓, s. 17.

[CITEREFRasiowa197519-16] Rasiowa 1975 ↓, s. 19.

[CITEREFRasiowa197556-17] Rasiowa 1975 ↓, s. 56.

[CITEREFRasiowa197555-18] Rasiowa 1975 ↓, s. 55.

[CITEREFRasiowa197558-19] Rasiowa 1975 ↓, s. 58.

[CITEREFRasiowa197581-20] Rasiowa 1975 ↓, s. 81.

[CITEREFRasiowa197578-21] Rasiowa 1975 ↓, s. 78.

[CITEREFGuzickiZakrzewski200533-22] Guzicki i Zakrzewski 2005 ↓, s. 33.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: