Prawa logiczne

Prawa logiczne – twierdzenia logiki, zdania prawdziwe w każdym modelu, tj. przy każdej interpretacji występujących w nich stałych pozalogicznych; szczególnie ważną funkcją praw logicznych jest to, że na ich podstawie orzeka się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich; prawa logiczne są podstawą (lub schematami) operacji dokonywanych w logice (dowodzenia, wnioskowania, uzasadniania). Praw logiki klasycznej jest nieskończenie wiele. Wybiera się często dla przykładu jedynie nieliczne spośród praw, które z różnych względów historycznych i naukotwórczych są najczęściej wyróżniane w opracowaniach podręcznikowych^[1]:

Klasyczny rachunek zdań


nazwa prawa	wzory (formuły)
tożsamości	$p\rightarrow p;$ $p\equiv p$
niesprzeczności	$\sim (p\ \land \sim p);$
wyłączonego środka	$p\ \lor \sim p;$
podwójnego przeczenia	$\sim (\sim p)\equiv p$
symplifikacji	$q\rightarrow (p\rightarrow q)$
sylogizmu hipotetycznego	$(p\rightarrow q)\rightarrow [(q\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow r)]$
eksportacji	$[(p\land q)\rightarrow r]\rightarrow [p\rightarrow (q\rightarrow r)]$
importacji	$[p\rightarrow (q\rightarrow r)]\rightarrow [(p\land q)\rightarrow r]$
komutacji	$[p\rightarrow (q\rightarrow r)]\equiv [q\rightarrow (p\rightarrow r)]$
dylematu	$[(p\rightarrow r)\ \land (q\rightarrow r)\ \land (p\lor q)]\rightarrow r;$ $[(p\rightarrow q)\ \land (r\rightarrow s)\ \land (p\lor r)]\rightarrow (q\ \lor s)$
pochłaniania	$[p\ \lor (q\ \lor \sim q)]\equiv (q\ \lor \sim q);$ $[p\ \land (q\ \land \sim q)]\equiv (q\ \land \sim q);$ $[p\ \land (q\ \lor \sim q)]\equiv p;$ $[p\ \lor (q\ \land \sim q)]\equiv p$
rozdzielności alternatywy względem koniunkcji	$[p\ \lor (q\ \land r)]\equiv [(p\ \lor q)\ \land (p\ \lor r)]$
rozdzielności koniunkcji względem alternatywy	$[p\ \land (q\ \lor r)]\equiv [(p\ \land q)\ \lor (p\ \land r)]$
Dunsa Szkota	$p\rightarrow (\sim p\rightarrow q)$
De Morgana	$\sim (p\ \land q)\equiv (\sim p\ \lor \sim q);$ $\sim (p\ \lor q)\equiv (\sim p\ \land \sim q);$

Rachunek predykatów pierwszego rzędu


nazwa prawa	wzory (formuły)
niesprzeczności	$\sim \bigvee x(Px\ \land \sim Px)$
wyłączonego środka	$\bigwedge x(Px\ \lor \sim Px)$
kwantyfikatora ogólnego względem implikacji	$\bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigwedge xPx\rightarrow \bigwedge xQx);$ $\bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)$
rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem implikacji	$\bigvee x(Px\rightarrow Qx)\equiv (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)$
De Morgana	$\sim \bigwedge xPx\equiv \bigvee x\sim Px;$ $\sim \bigvee xPx\equiv \bigwedge x\sim Px$

Wielowartościowy rachunek zdań

Zapis symboliczny	Objaśnienie
$p\rightarrow p^{*}$	„jeżeli p, to możliwe jest, że p”
$p^{+}\rightarrow p^{*}$	„jeżeli konieczne jest, że p, to możliwe jest, że p”
$p^{-}\rightarrow ^{\sim }p$	„jeżeli niemożliwe jest, że p, to nieprawda, że p”
$p^{*}\equiv (^{\sim }p\rightarrow p)$	„możliwe jest, że p, wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli nie p, to p” (Twierdzenie Tarskiego)
$p^{+}\equiv ^{\sim }(p\rightarrow ^{\sim }p)$	„konieczne jest, że p, wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda, że jeżeli p, to nie p”