Pierwiastnik
Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych[a] oraz pierwiastków[1] stopni naturalnych[potrzebny przypis].
Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{x+{\sqrt {\pi y+x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fbe1cac3dcf52c3fb2cf9c77a79bce35f97cc8)
Definicja formalna
Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)
Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą pierwiastników[2], jeśli istnieją liczby zespolone oraz liczby naturalne takie, że kładąc
- (ciało liczb wymiernych), (rozszerzenie ciała o element ) dla
będziemy mieli
- dla wszystkich oraz
Liczbę nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.
Jeśli powyżej zastąpimy przez pewne ciało to otrzymamy definicję przedstawialności liczby w pierwiastnikach nad ciałem Jeśli to powiemy, że jest przedstawialna w pierwiastnikach względem .
Definicja 2 (ogólniejsza)
Niech będzie ciałem o charakterystyce 0. Element jest pierwiastnikowy względem ciała (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ), gdy istnieje ciąg ciał oraz dla których zachodzi warunek:
- dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci
![{\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae1ebae3420bf9b2715992630f186242675887e)
Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała oznacza się zwykle przez i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała [3].
Jeśli jest ciałem charakterystyki to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:
- dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci gdzie albo wielomianu postaci [3].
![{\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048f6aed639823eeff7df191489e18e80b7ddb6e)
![{\displaystyle x^{p}-x-a_{i}\in K_{i-1}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62641d40c455f1ea33fe09b7176d63aaf3d1253a)
Własności
- nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.
- Jeżeli i są liczbami pierwszymi, to równanie nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem [5].
Znaczenie i użycie
Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).
Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki[6].
Uwagi
- ↑ A więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie.
Przypisy
- ↑ Pierwiastniki, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28].
- ↑ Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne”. Tom 11, Rozdział 13. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
- ↑ a b Browkin 1977 ↓, s. 112.
- ↑ a b Browkin 1977 ↓, s. 114.
- ↑ Browkin 1977 ↓, s. 144.
- ↑ Browkin 1977 ↓, s. 158.
Bibliografia
- Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.