Pierścień kołowy

Pierścień kołowy – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach^[1].

Definicja formalna

Niech $S=(x_{0},y_{0})$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej $\Omega ,$ zaś $R$ oraz $r$ odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że $r<R$ ^[1].

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach $R$ oraz $r,$ czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

{\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\leqslant R^{2}\\(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\geqslant r^{2}\end{cases}}

lub równoważnie

r\leqslant {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leqslant R.

Płaszczyzna zespolona

W analizie zespolonej pierścień kołowy $P(a;r,R)$ jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

\{z\colon \;r<|z-a|<R\}.

Jeżeli $r=0,$ to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu $R$ wokół punktu $a.$

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika $r/R.$ Każdy pierścień kołowy $P(a;r,R)$ może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym $1$ za pomocą przekształcenia

z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją ${\frac {r}{R}}<1.$

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem $S^{1}\times (0,1)$ i płaszczyzną bez punktu.

Pole

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach $R$ i $r{:}$

P=\pi (R^{2}-r^{2}).

Znając wartość obwodów pierścienia: zewnętrznego $O$ i wewnętrznego $o{:}$

P={\frac {O^{2}-o^{2}}{4\pi }}.

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach $d\rho$ i polach $2\pi \varrho \,d\varrho$ (= długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od $\varrho =r$ do $\varrho =R{:}$