Pierścień Dedekinda
Pierścień Dedekinda – pierścień całkowity oznaczany jako i zdefiniowany następująco Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d2f0f809f3e7ad192658c61cc1ae46e2a1901d)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+i{\sqrt {5}}b:a,b\in {\mathbb {Z} }\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d502f1213d8b9b8345138145cb5ee142a02e1bfe)
![{\displaystyle 2\in {\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b2de46314fc3c4b41004688b3dc87678791572)
Pierścienie Dedekinda
Jeśli pierścień jest podpierścieniem pierścienia to element nazywamy całkowitym nad gdy spełnia on warunek
- dla pewnej liczby naturalnej i elementów
(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).
Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.
Jeśli ciało jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych (tzn. zawiera jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała całkowitych nad jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień jest pierścieniem Dedekinda).
Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.
Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np. (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0729407bf2d53775c0a34ff2600a2ca8b22c4d5d)
Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.
Zobacz też
Literatura
- Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
- Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers (ang.), PWN, 1974.