Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa^[1] – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana $F^{-1}(p)$ ^[2]^[3].

Jeżeli dystrybuanta $F(x)$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

F^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=F(x)\},

gdzie $p\in (0,1).$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant F(x)\},

gdzie $p\in (0,1).$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

F^{-1}(p)

jest niemalejąca dla

p\in (0,1),

F^{-1}(p)

jest lewostronnie ciągła dla

p\in (0,1),

F^{-1}(F(x))\leqslant x

dla

x\in \mathbb {R}

takiego, że

\Phi (x)\in (0,1),

p\leqslant F(F^{-1}(p))

dla

p\in (0,1).

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu $\operatorname {erf} {:}$

F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).

gdzie:

\mu

– wartość oczekiwana rozkładu,

\sigma ^{2}

– wariancja rozkładu.

F_{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)

– odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej

\mu

i wariancji

\sigma ^{2}

\Phi ^{-1}

– odwrotna dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego

{\mathcal {N}}(0,1)

.

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa^[4], wg wzoru:

Y=F^{-1}(X),

gdzie:

Y

– zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,

F

– dystrybuanta tego rozkładu,

X

– zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).

Przypisy

↑ WalentyW. Ostasiewicz WalentyW., Myślenie statystyczne, Warszawa: Wolters Kluwer Polska, 2012, s. 57, ISBN 978-83-264-1555-5 [dostęp 2023-11-30] .
↑ KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 11, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-26] .
↑ DavidD. Ruppert DavidD., Statistics and data analysis for financial engineering, Springer texts in statistics, New York, NY: Springer, 2011, s. 604, ISBN 978-1-4419-7786-1 [dostęp 2024-02-26] .
↑ Prof. dr hab. Wojciech Niemiro, „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo” (Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego). Wykład 3: Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody, pkt 3.2.1. Tekst online.

[1] WalentyW. Ostasiewicz WalentyW., Myślenie statystyczne, Warszawa: Wolters Kluwer Polska, 2012, s. 57, ISBN 978-83-264-1555-5 [dostęp 2023-11-30] .

[2] KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 11, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-26] .

[3] DavidD. Ruppert DavidD., Statistics and data analysis for financial engineering, Springer texts in statistics, New York, NY: Springer, 2011, s. 604, ISBN 978-1-4419-7786-1 [dostęp 2024-02-26] .

[4] Prof. dr hab. Wojciech Niemiro, „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo” (Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego). Wykład 3: Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody, pkt 3.2.1. Tekst online.

[1]

[2]

[3]

[4]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Zastosowanie

Przypisy