Nierówność Jensena

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in [0,1],$ nazywanych wagami, spełniających warunek:

a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=1,

dla dowolnego przedziału $P\subseteq \mathbb {R} ,$ dowolnych liczb

x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in P

i dowolnej funkcji $f$ wypukłej w $P,$ prawdziwa jest nierówność^[1]:

f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}).

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód

Dowód indukcyjny ze względu na $n.$

Dla $n=1$ nierówność jest oczywista. Dla $n=2$ uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech $n\geqslant 2.$ Założenie indukcyjne jest następujące:

f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}),

gdzie $x_{i}$ należą do przedziału $P$ oraz $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=1.$

Teza indukcyjna to:

f\left(\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n+1}b_{i}f(x_{i}),

gdzie $x_{i}$ należą do przedziału $P$ oraz $b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n+1}=1.$

Niech $x_{i}\in P$ oraz $b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n+1}=1.$ Bez straty ogólności można założyć, że $b_{n+1}\neq 0.$ Wówczas:

f\left(\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}x_{i}\right)=f\left(b_{1}x_{1}+\dots +b_{n+1}x_{n+1}\right)=

=f\left(b_{1}x_{1}+\dots +b_{n-1}x_{n-1}+(b_{n}+b_{n+1})({\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n}+{\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n+1})\right)\leqslant

Korzystając z założenia indukcyjnego:

\leqslant b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+(b_{n}+b_{n+1})f({\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n}+{\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n+1})\leqslant

Z definicji funkcji wypukłej:

\leqslant b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+(b_{n}+b_{n+1}){\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}f(x_{n})+(b_{n}+b_{n+1}){\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}f(x_{n+1})

=b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+b_{n}f(x_{n})+b_{n+1}f(x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}f(x_{i}),

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy $f$ jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że $-f$ jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

(-f)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}(-f)(x_{i}),

co jest równoważne nierówności

f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\geqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}).

Uwagi

W szczególności dla $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=1/n$ nierówność przyjmuje postać:
$f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\leqslant {\frac {\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}{n}}.$
Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa

Niech $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będzie funkcją wypukłą, $X$ będzie zmienną losową, oraz $f,\ f(X)$ będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać: