Homomorfizm pierścieni

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Definicja formalna

Niech $(R,+,\cdot )$ oraz $(S,\oplus ,\odot )$ będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni $R$ i $S$ nazywamy dowolne odwzorowanie $h\colon R\to S$ takie, że

$h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$ – zachowane jest dodawanie,
$h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)$ – zachowane jest mnożenie.

Jeżeli $R$ i $S$ są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

$h(1_{R})=1_{S}$ – element neutralny mnożenia w $R$ jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w $S$ ^[a].

Własności

$h(0_{R})=0_{S}$ tzn. element neutralny dodawania w $R$ jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w $S,$
element przeciwny przechodzi w element przeciwny $-h(a)=h(-a).$ Wynika to z rozumowania: $h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S}.$

Obraz

Obrazem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

\operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\},

czyli zbiór takich elementów $S,$ które są wartościami odwzorowania $h$ na co najmniej jednym elemencie zbioru $R.$

Obraz homomorfizmu $h$ jest podpierścieniem pierścienia $S.$

Jądro

Jądrem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

\ker h=\{a\in R:h(a)=0_{S}\},

gdzie $0_{S}$ oznacza zero pierścienia $S.$

Jądro homomorfizmu $h$ jest ideałem pierścienia $R.$

Morfizmy pierścieni

Monomorfizm

Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm $h\colon R\to S$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker h=\{0_{R}\},$ gdzie $0_{R}$ oznacza zero pierścienia $R.$

Epimorfizm

Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm $h\colon R\to S,$ który jest funkcją typu „na”, tzn. $\operatorname {Im} (h)=S.$

Izomorfizm

Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm $h\colon R\to S$ nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy $h$ jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie $h^{-1}$ istnieje (ponieważ $h$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie $R$ i $S$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $h\colon R\to S$ (równoważnie: izomorfizm $g\colon S\to R$ ) i oznaczamy $R\simeq S.$ W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności $\simeq$ jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny

Niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem, zaś $I\subseteq R$ dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie $h\colon R\to R/I$ określone $h(a)=[a]$ jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie $h$ nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia $R$ na pierścień ilorazowy $R/I.$

Twierdzenie o homomorfizmie

Jeśli $h\colon R\to S$ jest epimorfizmem pierścieni $R,S,$ to $S$ jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym $R/\ker h$ (izomorfizmem jest odwzorowanie $g\colon R/\ker h\to S$ określone $g\left([a]\right)=h(a)$ ) oraz $h=g\circ f,$ gdzie $f\colon R\to R/\ker h$ jest homomorfizmem kanonicznym.