Morfizm zerowy

Jeśli dla pary uporządkowanej $(A,B)$ obiektów z kategorii ${\mathfrak {K}}$ istnieje morfizm $0_{BA}\colon A\to B,$ taki że dla wszystkich morfizmów $v\colon B\to C$ i $u\colon D\to A$

v0_{BA}=0_{CA},0_{BA}u=0_{BD},

to $0_{BA}$ nazywamy morfizmem zerowym^[1].

Morfizm zerowy można również zdefiniować za pomocą pojęć morfizmu stałego i morfizmu costałego.

Morfizm

A{\xrightarrow {f}}B

nazywamy morfizmem stałym, jeśli dla każdej pary morfizmów

A'{\xrightarrow {r}}A

i

A'{\xrightarrow {s}}A

zachodzi równość

f\circ r=f\circ s.

Morfizm

A{\xrightarrow {f}}B

nazywamy morfizmem costałym, jeśli dla każdej pary morfizmów

B{\xrightarrow {u}}B'

i

B{\xrightarrow {w}}B'

zachodzi równość

u\circ f=w\circ f.

Morfizmem zerowym jest morfizm, który jest jednocześnie morfizmem stałym i morfizmem costałym^[2].

Jeżeli dla każdej pary uporządkowanej $(A,B)$ obiektów z kategorii ${\mathfrak {K}}$ istnieje morfizm zerowy $0_{BA}\colon A\to B,$ to kategorię tę nazywamy kategorią punktowaną. W danej kategorii istnieje tylko jeden układ morfizmów zerowych $(0_{BA})=\{0_{BA}:(A,B)\in {\mathfrak {K}}\times {\mathfrak {K}}\},$ bowiem gdyby istniały dwa takie układy $(0_{BA})$ i $(0'_{BA}),$ to byłaby prawdziwa równość morfizmów $0'_{BA}=0'_{BA}0_{AA}=0_{BA}.$

Własności

Jeśli $A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C$ są morfizmami kategorii punktowanej i g jest monomorfizmem, to $f$ jest jądrem $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest obiektem zerowym.
W kategorii punktowanej ekwalizator morfizmu $A{\xrightarrow {f}}B$ oraz morfizmu $0_{BA}$ jest jądrem morfizmu $f.$

Przypisy

↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 48.
↑ Abstract and Concrete Categories, op. cit., s. 126.

Bibliografia

Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).

[1] Bucur, Deleanu, op. cit., s. 48.

[2] Abstract and Concrete Categories, op. cit., s. 126.

[1]

[2]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Morfizm zerowy

Własności

Przypisy

Bibliografia