Monoid

Monoid^[1] (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny^[2]. Formalnie monoid to algebra $(S,e,*),$ sygnatury $(0,2),$ gdzie $S$ jest niepustym zbiorem, natomiast

*\colon S\times S\to S

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

$\forall _{a\in S}\;e*a=a*e=a$ ( $e$ jest elementem neutralnym),
$\forall _{a,b,c\in S}\;\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)$ (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

klasa półgrup

\supseteq

klasa monoidów

\supseteq

klasa grup.

Każdy monoid $M$ jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry $M.$ Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.

Przykłady

Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.

Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

Przedziały dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (posetu) tworzą monoid z działaniem przekroju zbiorów. Elementem neutralnym jest tutaj cały rozważany poset^{[potrzebny przypis]}.

Każdej półgrupie $(S,*)$ można przyporządkować jej monoid $M(S)$ w następujący sposób^[3]:

Jeśli

S

ma element neutralny

e,

to monoidem tym jest

M(S)=(S,e,*),

Jeśli

S

nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest

M(S)=(S\cup \{1\},1,\circ ),

dla pewnego

1\notin S,

przy czym:

dla wszystkich

x,y\in S

zachodzi

x\circ y=x*y,

dla każdego

x\in S

spełniona jest równość

x\circ 1=1\circ x=x,

1\circ 1=1.

Monoid wolny^[4]. $\left(X^{*},\varepsilon ,\sim \right)$ – zbiór słów nad alfabetem $X,$ z $\varepsilon$ jako słowem pustym i $\sim$ jako operacją konkatenacji. Jeśli $X=\{0,1\},$ to słowami są na przykład: $110111,\,011000,\,000,\,1111,$ a przykładami konkatenacji są:

110111\sim 000=110111000,

\varepsilon \sim 000=000.

Własność uniwersalności monoidu wolnego^[5]. Po utożsamieniu elementów zbioru $X$ ze słowami jednoelementowymi można uznać $X$ za podzbiór monoidu wolnego $X^{*}$

i:a\mapsto a,

przy czym podzbiór ten generuje

X^{*}

i odwzorowanie

i:X\to X^{*}

ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru

X

w monoid

M

\alpha :X\to M

istnieje jedyny taki homomorfizm

\alpha ^{*}:X^{*}\to {M}

dla którego następujący diagram jest przemienny.

Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru $M$ w zbiór $M$ wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na $M.$ Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.

Jeśli $M$ jest monoidem, $A$ jest półgrupą, a $h:M\to A$ jest homomorfizmem na $A,$ to $A$ jest monoidem^[6].

Przypisy

↑ Milne J.S: Group Theory. s.31. [dostęp 2011-08-23].
↑ monoid, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .
↑ Gerard Lallement: Semigroups and Combinatorial Applications (tłum. ros.). Wyd. 1. Mиp, 1985, s. 16. (ros.).
↑ Milne, op. cit., s. 31.
↑ Milne, op. cit., s. 32.
↑ Скорняков, op. cit., s. 60.

Bibliografia

J.S. Milne: Group Theory. [dostęp 2011-08-23].
Скорняков Л.А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.

Literatura dodatkowa

A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.

Linki zewnętrzne

Monoid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

[1] Milne J.S: Group Theory. s.31. [dostęp 2011-08-23].

[epwn-2] monoid, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .

[3] Gerard Lallement: Semigroups and Combinatorial Applications (tłum. ros.). Wyd. 1. Mиp, 1985, s. 16. (ros.).

[4] Milne, op. cit., s. 31.

[5] Milne, op. cit., s. 32.

[6] Скорняков, op. cit., s. 60.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: