Macierz Vandermonde’a

Macierz Vandermonde’a – macierz kwadratowa $n\times n$ postaci:

A=\left({\begin{matrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{matrix}}\right).

Wyznacznik tej macierzy nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde’a i jest wielomianem postaci:

\det A=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{j}-x_{i}).

Przykład: Macierz

A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1\\1&2&4&8\\1&3&9&27\\1&4&16&64\end{matrix}}\right)

jest macierzą Vandermonde’a. Jej wyznacznik jest równy

\det A=(x_{2}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{4}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{3})=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12

Jednoznaczność wielomianu interpolacyjnego

Macierz Vandermonde’a pozwala udowodnić następujące twierdzenie o jednoznaczności wielomianu interpolacyjnego: Dla dowolnego zbioru różnych punktów: $\{(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}$ istnieje dokładnie jeden wielomian $W(x)$ o stopniu mniejszym niż $n$ i taki, że dla każdego $ky_{k}=W(x_{k}).$

Dowód:

Ponieważ punkty są różne, to wyznacznik macierzy Vandermonde’a stworzonej z punktów $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})$ jest różny od 0, więc macierz jest odwracalna. Niech $V$ oznacza tę macierz. Rozwiązanie układu równań: