Lemat Goursata

Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku^[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Wprowadzenie

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

wzięcie podgrupy $H$ danej grupy $G,$
wzięcie ilorazu $G/H$ (gdzie $H$ jest podgrupą normalną) oraz
wzięcie iloczynu prostego $G_{1}\times G_{2}$ dwóch grup $G_{1}$ oraz $G_{2}.$

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa $L$ w $H$ jest po prostu podgrupą $L$ w $G$ zawartą w $H$ (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy $G/H$ mają postać $J/H,$ gdzie $J$ jest podgrupą w $G,$ dla której $H\subseteq J\subseteq G$ (co więcej, $J/H\trianglelefteq G/H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $J\trianglelefteq G$ ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy $G_{1}$ oraz $G_{2}$ znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w $G_{1}\times G_{2}.$

Iloczyn prosty $G_{1}\times G_{2}$ danych grup $G_{1}$ i $G_{2}$ to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane $\{(g_{1},g_{2})\colon g_{i}\in G_{i}\}$ z mnożeniem określonym po współrzędnych: $(g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2});$ elementem neutralnym jest $(e_{1},e_{2}),$ a element odwrotny to $(g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1}).$ Jeśli $H_{i}$ jest podgrupą w $G_{i},$ to $H_{1}\times H_{2}$ jest podgrupą w $G_{1}\times G_{2}$ ^[a] nazywaną dalej podiloczynem; więcej $H_{1}\times H_{2}$ jest normalna w $G_{1}\times G_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda $H_{i}\trianglelefteq G_{i}$ ^[b].

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup

G_{1}

i

G_{2}

mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w

G_{1}\times G_{2}

jest podiloczynem w

G_{1}\times G_{2}

?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie: Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w $G_{1}\times G_{2}$ jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy $g_{i}\in G_{i}$ mają skończone, względnie pierwsze rzędy^[c].

wykorzystujące poniższy

Lemat: Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Wówczas $G_{1}\times G_{2}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy $G_{1}$ i $G_{2}$ są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach^[d].

Twierdzenie

Niech $G_{1},G_{2}$ będą grupami.

Niech $H$ będzie podgrupą w $G_{1}\times G_{2}.$ Niech $H_{11}=\{a\in G_{1}\colon (a,e_{2})\in H\},$ $H_{21}=\{b\in G_{2}\colon (e_{1},b)\in H\}$ oraz $H_{12}=\{a\in G_{1}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}b\in G_{2}\},$ $H_{22}=\{b\in G_{2}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}a\in G_{1}\}.$
Wówczas $H_{i1}\subseteq H_{i2}$ są podgrupami w $G_{i},$ dla których $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},$ a odwzorowanie $\varphi _{H}\colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}$ dane wzorem $\varphi _{H}(aH_{11})=bH_{21},$ gdzie $(a,b)\in H,$ jest izomorfizmem.

Co więcej: jeśli $H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2},$ to $H_{i1},H_{i2}\triangleleft G_{i}$ oraz $H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1}),$ centrum $G_{i}/H_{i1}.$
Niech $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2}$ będą podgrupami w $G_{i}$ i niech $\varphi \colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}$ będzie izomorfizmem.
Wówczas $H={\big \{}(a,b)\in H_{12}\times H_{22}\colon \varphi (aH_{11})=bH_{21}{\big \}}$ jest podgrupą $G_{1}\times G_{2}.$

Zakładając ponadto $H_{i1},H_{i2}\trianglelefteq G$ oraz $H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1})$ otrzymuje się $H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2}.$
Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski

W literaturze^[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech

H

będzie podgrupą w

G_{1}\times G_{2}

z kanonicznymi rzutami

\pi _{i}\colon H\to G_{i}

o jądrach

N_{i},

dzięki którym można utożsamić

N_{i}

z podgrupą normalną w

G_{i}.

Wówczas obraz

H

w

G_{1}/N_{1}\times G_{2}/N_{2}

jest wykresem izomorfizmu

G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}.

Lemat Zassenhausa

Zobacz też: lemat Zassenhausa.

Niech $G$ będzie grupą, a $B\trianglelefteq A$ oraz $D\trianglelefteq C$ będą jej podgrupami. Wówczas $B(A\cap D)\trianglelefteq B(A\cap C),$ $D(B\cap C)\trianglelefteq D(A\cap C),$ a grupy ilorazowe $B(A\cap C)/B(A\cap D)$ oraz $D(A\cap C)/D(B\cap C)$ są izomorficzne.

Dowód

Zbiór $H=\{(bc,dc)\in G\times G\colon b\in B,d\in D,c\in A\cap C\}$ jest podgrupą w $G\times G$ ^[e]. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest $H_{12}=B(A\cap C)$ oraz $H_{22}=D(A\cap C)$ (co pokazuje, że są one grupami w $G$ ), ponadto $H_{11}=\{ac\colon a\in B,c\in A\cap D\}=B(A\cap D)$ i podobnie $H_{21}=D(B\cap C).$ Zatem skoro $H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},$ to $B(A\cap D)$ jest podgrupą normalną w $B(A\cap C),$ $D(B\cap C)$ jest podgrupą normalną w $D(A\cap C)$ i stąd $H_{12}/H_{11}$ oraz $H_{22}/H_{21}$ są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi

↑ Kryterium bycia podgrupą: zbiór $G_{1}\times G_{2}$ jest niepusty, ponieważ $(e_{1},e_{2})\in G_{1}\times G_{2}$ należy do $H_{1}\times H_{2};$ niech $h_{1},h_{1}'\in H_{1}$ i $h_{2},h_{2}'\in H_{2},$ skąd $(h_{1},h_{2}),(h_{1}',h_{2}')\in H_{1}\times H_{2}$ wówczas $(h_{1},h_{2})(h_{1}',h_{2}')^{-1}=(h_{1},h_{2})(h_{1}'^{-1},h_{2}'^{-1})=(h_{1}h_{1}'^{-1},h_{2}h_{2}'^{-1})\in H_{1}\times H_{2},$ jako że $h_{1}h_{1}'^{-1}\in H_{1}$ oraz $h_{2}h_{2}'^{-1}\in H_{2}.$
↑ Nie każda podgrupa (normalna) iloczynu prostego dwóch grup jest podiloczynem: standardowym kontrprzykładem jest grupa czwórkowa Kleina $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ z podgrupą normalną ${\big \{}({\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}}){\big \}},$ gdzie $\mathbb {(} Z_{2},+)$ oznacza grupę liczb całkowitych modulo 2 z działaniem dodawania (ogólnie: dowolna podgrupa przekątniowa $\Delta _{G}=\{(g,\dots ,g)\colon g\in G\}$ w $n$ -krotnym iloczynie prostym $G^{n}$ ).
↑ Konieczność. Niech $g_{i}\in G_{i}\setminus \{e_{i}\}.$ Wówczas ${\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }$ jest podiloczynem $G_{1}\times G_{2},$ zatem ${\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=\langle g_{1}\rangle \times \langle g_{2}\rangle .$ Na mocy (poniższego) lematu $g_{i}$ mają skończone, względnie pierwsze rzędy.
Dostateczność. Niech $H$ będzie podgrupą $G_{1}\times G_{2}$ i niech $(g_{1},g_{2})\in H.$ Ponieważ rzędy $g_{1},g_{2}$ są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje ${\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=\langle g_{1}\rangle \times \langle g_{2}\rangle ,$ skąd $(g_{1},e_{2}),(e_{1},g_{2})\in H,$ zatem $H=H_{1}\times H_{2},$ gdzie $H_{1}={\big \{}g\in G_{1}\colon (g,e_{2})\in H{\big \}}$ oraz $H_{2}={\big \{}g\in G_{2}\colon (e_{1},g)\in H{\big \}}.$
↑ Konieczność. Niech $G_{1}\times G_{2}$ będzie cykliczna, tj. $G_{1}\times G_{2}={\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }.$ Niech $g\in G_{1}$ tak, by $(g,e_{2})=(g_{1},g_{2})^{n}$ dla pewnej liczby całkowitej $n.$ W ten sposób $g=g_{1}^{n}$ oraz $g_{2}^{n}=e_{2};$ oznacza to, że $G_{1}=\langle g_{1}\rangle ,$ a $g_{2}$ ma skończony rząd i podobnie $g_{1}$ ma skończony rząd, a $G_{2}=\langle g_{2}\rangle .$ Niech $\mathrm {ord} (g_{i})=n_{i}$ oznacza rząd elementu $g_{i}.$ Wówczas $\mathrm {ord} {\big (}(g_{1},g_{2}){\big )}=|G_{1}\times G_{2}|=n_{1}n_{2}.$ Jednakże jeśli $l=\mathrm {nww} (n_{1},n_{2}),$ to $(g_{1},g_{2})^{l}=(e_{1},e_{2});$ dlatego $l=n_{1}n_{2},$ tzn. $\mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1.$
Dostateczność. Niech $G_{i}=\langle g_{i}\rangle ,$ gdzie $|G_{i}|=n_{i},$ przy czym $\mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1.$ Zachodzi $(g_{1},g_{2})^{n_{1}n_{2}}=\left((g_{1}^{n_{1}})^{n_{2}},(g_{2}^{n_{2}})^{n_{1}}\right)=(e_{1},e_{2}).$ Ale $(e_{1},e_{2})=(g_{1},g_{2})^{l}$ pociąga $g_{i}^{l}=e_{i};$ dlatego $n_{i}|l.$ Skoro $\mathrm {nwd} (n_{1},n_{2})=1,$ to $n_{1}n_{2}|l.$ Zatem $(g_{1},g_{2})$ ma rząd $n_{1}n_{2},$ a więc ${\big \langle }(g_{1},g_{2}){\big \rangle }=G_{1}\times G_{2}.$
↑ Niech $(bc,dc),(b'c',d'c')\in H,$ gdzie $b,b'\in B,$ $d,d'\in D$ i $c,c'\in A\cap C.$ Teraz $B\trianglelefteq A$ daje $cb'={\overline {b}}c$ oraz $c^{-1}b^{-1}=b^{*}c^{-1}$ dla pewnych ${\overline {b}},b^{*}\in B$ i podobnie $D\trianglelefteq C$ daje $cd'={\overline {d}}c$ oraz $c^{-1}d^{-1}=d^{*}c^{-1}$ dla pewnych ${\overline {d}},d^{*}\in D.$ Zatem $(bc,dc)(b'c',d'c')=(bcb'c',dcd'c')=(b{\overline {b}}cc',d{\overline {d}}cc')\in H$ oraz $(bc,dc)^{-1}=(c^{-1}b^{-1},c^{-1}d^{-1})=(b^{*}c^{-1},d^{*}c^{-1})\in H.$