Ideał maksymalny

Ideał maksymalny – ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

Własności

W pierścieniach przemiennych z jedynką $R$ zachodzą następujące twierdzenia:

Ideał $I$ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ jest ciałem^[1]. Ciało to nazywanym ciałem reszt.
Każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym.
Twierdzenie Krulla: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym^[2].

Przykłady

W pierścieniu $\mathbb {Z}$ ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą $p$ (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami $\mathbb {Z} _{p}$ )^[3].
W pierścieniu wielomianów $\mathbb {Z} [X]$ ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów, dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów, dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z $\mathbb {Z} _{2}$ )
W pierścieniu wielomianów $\mathbb {R} [X]$ ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez $(x^{2}+1);$ pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych $\mathbb {C} .$
W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.