Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Mówi ona, że nie ma pomiędzy nimi żadnej wielkości pośredniej. Innymi słowy, continuum to najmniejsza liczba nieprzeliczalna, co można zapisać symbolicznie:

Hipotezę tę sformułował w XIX wieku Georg Cantor; znalazła się ona wśród problemów Hilberta, jako pierwsza na liście. W XX wieku udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny dla standardowej teorii mnogości, tj. niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla^[1].

Hipoteza ta została postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora. Posługując się rozumowaniem przekątniowym, Cantor wykazał, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza niż moc zbioru liczb rzeczywistych, czyli:

W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być dalece nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma^[2]. Nie potrafił jej jednak udowodnić, co sprawiło, że zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego nie istnieje zbiór którego moc byłaby większa od mocy zbioru ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Jesienina-Wolpina:

Przy założeniu GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa ciężaru o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na z normą supremum^[3].

• Wojciech Guzicki: Teoria mnogości [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1993. ISBN 83-214-0783-8.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Continuum Hypothesis, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].
• Continuum hypothesis (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• PeterP. Koellner PeterP., Continuum Hypothesis, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 22 maja 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2017-12-30]  (ang.). (Hipoteza continuum)
• Continuum hypothesis (ang.), Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].