Hipoteza abc
Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku[1].
Sformułowanie problemu
Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.
Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie spełniające równość
Zdefiniujemy następujące funkcje:
gdzie oznacza część bezkwadratową iloczynu czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb (na przykład: ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).
Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb że Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że
- Dla każdej liczby istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb spełniających warunek
czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających itd.
Dowód
W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC[2]. Dowód jest w trakcie weryfikacji[3][4]. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką[5], a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna[6][5].
Poszukiwania
W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek spełniających nierówność
Konsekwencje
W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:
- rozwiązanie twierdzenia Rotha,
- udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
- udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
- kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
- uogólnienie teorii Tijdemana,
- rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
- rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro[1],
- w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana[7] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta[8].
Przypisy
- ↑ a b Joseph Oesterlé, Nouvelles approches du « théorème » de Fermat, Société Mathématique de France, 1988, s. 165–186, ISSN 0303-1179, OCLC 17422981.
- ↑ Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.
- ↑ Philip Ball, Proof claimed for deep connection between primes, „Nature”, 2012, DOI: 10.1038/nature.2012.11378 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
- ↑ Barry Cipra, ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science Now, 12 września 2012 [zarchiwizowane 2013-05-14].
- ↑ a b The proof that wasn’t [online], Varsity Online [dostęp 2022-05-06] (ang.).
- ↑ Davide Castelvecchi, Mathematical proof that rocked number theory will be published, „Nature”, 580 (7802), 2020, s. 177–177, DOI: 10.1038/d41586-020-00998-2 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
- ↑ Andrzej Dąbrowski, On the Diophantine Equation x!+ A = y2, „Nieuw Archief voor Wiskunde”, 14 (3), 1996, s. 321–324 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
- ↑ Marius Overholt, The Diophantine Equation n! + 1 = m2, „Bulletin of the London Mathematical Society”, 25 (2), 1993, s. 104–104, DOI: 10.1112/blms/25.2.104 [dostęp 2024-08-05] (ang.).
Bibliografia
- Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.
Linki zewnętrzne
- Hipoteza ABC, wiw.pl [zarchiwizowane 2015-07-06].
- Historia Twierdzenia Fermata, math.us.edu.pl [zarchiwizowane 2010-04-13].
- Oficjalna strona projektu ABC@home, abcathome.com [zarchiwizowane 2015-11-30].
- Eric W. Weisstein, abc Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].