Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami $V_{4}$ lub $K_{4}.$

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina^[1], który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku^[2].

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje

Grupę Kleina definiuje działanie $\circ$ określone na zbiorze czterech (różnych) elementów $V_{4}=\{e,a,b,c\}$ dane jak w tabeli niżej^[3], gdzie element $e$ jest elementem neutralnym.

Tabliczka działania grupy $V_{4}$
$\circ$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów $a,b$ oraz trzech relacji $a^{2}=e,$ $b^{2}=e$ i $(ab)^{2}=e;$ innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom $e,a,b,c$ ):

iloczyn prosty $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ (z dodawaniem modulo 2):
$(0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);$
grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):
identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o $180^{\circ };$
podgrupa permutacji grupy symetrycznej $S_{4}{:}$
$\operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).$

Można ją również skonstruować na zbiorze $\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$ z operacją mnożenia modulo 8^[a]. W tym wypadku $a$ odpowiada ${\overline {3}},$ $b$ opisuje ${\overline {5}}$ i wreszcie $c=ab$ to istotnie ${\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.$

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa^[1] (nie jest więc grupą cykliczną^[b]); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania^[c].

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych^[d]; druga z nich jest grupą cykliczną^[b].

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)^[e].

Uwagi

↑ Zob. podgrupa § Przykłady: Kryterium bycia podgrupą skończoną.
↑ ^a ^b Czteroelementowa grupa cykliczna zawiera element rzędu 4 będący jej generatorem.
↑ Przemienność działania w grupie Kleina można wywnioskować zaobserwowawszy, że tablica Cayleya jej działania jest symetryczna względem głównej przekątnej.
↑ Można się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie tabliczki działania dla czterech (różnych) elementów, które muszą być kwadratami łacińskimi (ze względu na własność skracania w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. grupa § Własności), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.
↑ Grupa $V_{4}$ jest podgrupą normalną grupy alternującej $A_{4},$ przy czym $A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}$ jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto podgrupa trywialna $E$ również jest normalna w $V_{4},$ przy czym $V_{4}/E\simeq V_{4}$ także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup $E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}$ ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa $A_{4}$ jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna $S_{4},$ która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio $A_{4}\vartriangleleft S_{4}$ i $S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}$ jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois.