Gaz Fermiego
Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca[1]. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.
Opis matematyczny
Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:
gdzie:
- – energia -tego stanu,
- – potencjał chemiczny.
Energia wewnętrzna gazu Fermiego
Do dalszych obliczeń przyjmiemy
Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:
gdzie:
- – gęstość stanów,
- – masa fermionów,
- – stała Plancka,
- – objętość, w której znajdują się fermiony,
- – rozkład Fermiego-Diraca,
- – czynnik Boltzmanna,
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 Ostatecznie otrzymujemy:
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:
otrzymujemy:
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
Ciśnienie gazu Fermiego
Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:
Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy
gdzie:
- – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Fermiego gaz, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .