Funkcje eliptyczne Weierstrassa

Funkcje eliptyczne Weierstrassa (funkcje $\wp$ ) to ważna klasa funkcji eliptycznych, które mają fundamentalne znaczenie w wielu obszarach matematyki, takich jak geometria algebraiczna, teoria liczb i teoria równań różniczkowych. Funkcje te są zdefiniowane jako podwójnie okresowe funkcje zespolone, co oznacza, że są okresowe względem dwóch niezależnych kierunków na płaszczyźnie zespolonej. Funkcje tej klasy nazywa się także $\wp$ -funkcjami, gdzie symbol $\wp$ jest wyjątkowo fantazyjną literą p.

Funkcje te zostały wprowadzone przez Karla Weierstrassa.

Definicja funkcji eliptycznej Weierstrassa

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp (z)$ jest zdefiniowana przy użyciu rozkładu na ułamki proste za pomocą sumy nieskończonej^[1]:

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)

gdzie:

$z$ to zmienna zespolona
$\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ to dwie ustalone liczby zespolone takie że ${\text{Im}}({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})>0$ ; nadają funkcji dwa niezależne okresy
$\Lambda$ to kratka (ang. lattice), czyli zbiór punktów postaci $\omega =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ , gdzie $m,n\in \mathbb {C}$ (są to liczby całkowite)

czyli sumowanie przebiega po wszystkich parach liczb całkowitych $m,n\in \mathbb {C}$ z wyjątkiem punktu $(0,0)$ .

Własności p-funkcji

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp$ z widocznymi periodycznymi zmianami i siecią $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ . Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(1) Parzystość (podwójna): $\wp (-z)=\wp (z)$ ^[1]

(2) Podwójna okresowość: Funkcja $\wp (z)$ ma dwa niezależne okresy $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ , co oznacza, że^[1]:

\wp (z+\omega _{1})=\wp (z)

\wp (z+\omega _{2})=\wp (z)

dla dowolnych liczb zespolonych $z$ .

(3) Bieguny^[1]: Funkcja $\wp (z)$ ma bieguny rzędu 2 w punkcie $z=0$ oraz w punktach przesuniętych o okresy (tj. dla $z=m\omega _{1}+n\omega _{2}$ ).

Funkcja $\wp '$ - pochodna funkcji $\wp$ - ma identyczną periodyczność. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(4) Równanie różniczkowe: Funkcja $w=\wp (z)$ spełnia równanie różniczkowe^[2]:

{\Big (}{\frac {dw}{dz}}{\Big )}^{2}=4w^{3}-g_{2}w-g_{3}=4(w-e_{1})(w-e_{2})(w-e_{3})

gdzie:

$e_{1}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{1}}{2}}{\Big )}\,,\quad$ $e_{2}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{1}+w_{2}}{2}}{\Big )}\,,\quad$ $e_{3}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{2}}{2}}{\Big )}$
$e_{1}+e_{2}+e_{3}=0\,,\quad$ $e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}=-{\tfrac {1}{4}}g_{2}\,,\quad$ $e_{1}e_{2}e_{3}={\tfrac {1}{4}}g_{3}$

Parametry $g_{2}$ i $g_{3}$ zależą od okresów $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ ; nazywa się je niezmiennikami Weierstrassa. Słuszna jest zależność

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=m^{2}\wp (mz;{\tfrac {g_{2}}{m^{4}}},{\tfrac {g_{3}}{m^{6}}})\quad

gdzie

m^{2}={\tfrac {g_{3}}{g_{2}}}

Rozwinięcia w szeregi

Funkcja Weierstrassa $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ można dla $0<|z|<\min(\omega _{1},\omega _{2})$ przedstawić w postaci szeregów zależnych od $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ ^[2]

\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})={\tfrac {1}{z^{2}}}+{\tfrac {g_{2}}{20}}z^{2}+{\tfrac {g_{3}}{28}}z^{4}+{\tfrac {g_{2}^{2}}{1200}}z^{6}+{\tfrac {3g_{2}g_{3}}{6160}}z^{8}+\cdots

={\tfrac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}z^{2k-2}

gdzie:

$a_{2}=g_{2}/20,\,$ $a_{3}=g_{3}/28$ , $a_{k}={\tfrac {3}{(k-3)(2k+1)}}(a_{2}a_{k-2}+a_{3}a_{k-3}+\cdots +a_{k-2}a_{2})$ dla $k\geq 4$
$g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{m,n,\,m^{2}+n^{2}\neq 0}{\tfrac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}={\Big (}{\frac {2\pi }{\omega _{2}}}{\Big )}^{4}{\Big (}{\frac {1}{12}}+20\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}q^{2k}}{1-q^{2k}}}{\Big )}$
$g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{m,n,\,m^{2}+n^{2}\neq 0}{\tfrac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}={\Big (}{\frac {2\pi }{\omega _{2}}}{\Big )}^{6}{\Big (}{\frac {1}{216}}-{\frac {7}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}q^{2k}}{1-q^{2k}}}{\Big )}$
- gdzie $q=e^{i\pi \omega _{1}/\omega _{2}}$

Funkcja odwrotna do p-funkcji

Funkcją odwrotną do funkcji Weierstrassa jest całka eliptyczna Weierstrassa pierwszego rodzaju, o parametrach $g_{2},g_{3}$ , dana wzorem

z(w;g_{2},g_{3})=\int \limits _{w}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}}

Przy tym punkty $w=e_{1},e_{2},e_{3}$ oraz $w=\infty$ są punktami rozgałęzienia tej funkcji odwrotnej.

Inne funkcje powiązane z p-funkcją:

Pochodna funkcji Weierstrassa: $\wp '(z)$ , która jest również funkcją eliptyczną, ale ma biegun rzędu 3 w punkcie $z=0$ .
Niezmienniki: $g_{2}$ i $g_{3}$ są stałymi zależnymi od okresów kratki i pełnią ważną rolę w analizie funkcji eliptycznych.

Twierdzenie (o tworzeniu funkcji eliptycznych)

Tw. Każda funkcja eliptyczna $f(z)$ o okresach $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ może być utworzona z funkcji $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ oraz $\wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})$ w postaci^[3]

f(z)=R_{1}[\wp (z)]+\wp '(z)R_{2}[\wp (z)]

gdzie $R_{1},R_{2}$ są funkcjami wymiernymi, a funkcja $\wp '(z)$ jest funkcją eliptyczną nieparzystą rzędu 3

Powiązanie z krzywymi eliptycznymi

Funkcja $\wp (z)$ jest związana z krzywymi eliptycznymi. Równanie różniczkowe dla $\wp (z)$ można traktować jako równanie krzywej eliptycznej w postaci:

y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}

Tutaj $\wp (z)$ odgrywa rolę zmiennej $x$ , a $\wp '(z)$ odpowiada $y$ .

Zastosowania funkcji eliptycznych Weierstrassa

w teorii krzywych eliptycznych i geometrii algebraicznej.
w teorii równań różniczkowych (szczególnie w rozwiązaniach równań nieliniowych, takich jak równanie Kortewega–de Vriesa).
w matematyce teoretycznej, np. w teorii liczb i analizie zespolonej.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 284.
↑ ^a ^b G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 285.
↑ G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 286.

Bibliografia

G. A. Korn, T. M. Korn: Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2. Warszawa: PWN, 1983, s. 284-286.

Linki zewnętrzne

Funkcja eliptycznych Weierstrassa na WolframAlpha

[CITEREFG._A._KornT._M._Korn1983284-1] G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 284.

[CITEREFG._A._KornT._M._Korn1983285-2] G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 285.

[CITEREFG._A._KornT._M._Korn1983286-3] G. A. Korn i T. M. Korn 1983 ↓, s. 286.

[1]

[2]

[3]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Funkcje eliptyczne Weierstrassa

Definicja funkcji eliptycznej Weierstrassa

Własności p-funkcji

Rozwinięcia w szeregi

Funkcja odwrotna do p-funkcji

Inne funkcje powiązane z p-funkcją:

Twierdzenie (o tworzeniu funkcji eliptycznych)

Powiązanie z krzywymi eliptycznymi

Zastosowania funkcji eliptycznych Weierstrassa

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne