Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna – funkcja $f,$ określona na otwartym podzbiorze $D$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze $D\setminus S,$ gdzie $S$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji $f$ ^[1].

Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.

Przykłady

Funkcjami meromorficznymi są:

wszystkie funkcje wymierne, np.

$f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}$

$f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}$ jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
$f(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}$ ,
$f(z)=\tan(z)$ ,
$f(z)={\frac {\sin(z)}{(z-1)^{2}}}$
Funkcja Γ (gamma Eulera),
funkcja ζ (dzeta Riemanna)

Funkcjami meromorficznymi nie są:

wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np. ${\sqrt {z}}$ )
funkcja logarytmiczna $f(z)=\ln(z)$
dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
$f(z)=\mathrm {e} ^{\frac {1}{z}}$ oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość gdzie indziej niż w nieskończoności
wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).

Twierdzenia I

Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna.
Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi.
Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na $\mathbb {C} .$
Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.

Twierdzenia II

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},

przy czym funkcja $h_{2}$ nie może być stale równa $0.$ Zbiór biegunów $S$ jest zbiorem zer funkcji $h_{2}.$

Tw. 2 Jeżeli zbiór $D$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w $D$ ).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna