Funkcja całkowalna

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki (Riemanna, Lebesgue’a, Henstocka-Kurzweila, Stieltjesa itp.)^[1]

Całkowalność w sensie Newtona-Riemanna

Całka z funkcji ciągłej na przedziale skończonym

Twierdzenie Newtona-Leibniza:

Jeśli $f$ jest ciągła na przedziale skończonym, a $F$ jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza

\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a).

Funkcje ciągłe są więc całkowalne na przedziałach skończonych. To samo dotyczy funkcji ograniczonych, ale nieciągłych w przeliczalnej liczbie punktów przedziału całkowania – wtedy całkując na poszczególnych odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła, a następnie sumując uzyskane wyniki, uzyska się całkę z całego przedziału.

Całki niewłaściwe

Pole pod wykresem powyższej funkcji na przedziale od zera do nieskończoności jest skończone, równe $\pi /2$

Całki niewłaściwe to całki określane na przedziałach nieskończonych lub dla funkcji, które rozbiegają się do nieskończoności w punktach wewnętrznych lub brzegowych przedziału całkowania. Istnienie tych całek jest zależne od spełnienia poniżej podanych warunków.

Całki na przedziałach nieskończonych

Niech dla każdego $A>a$ funkcja $f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$

jest całkowalna w przedziale skończonym $[a,A].$ Wtedy granicę

\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\infty .$

Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od $-\infty$ do $a$ i od $-\infty$ do $\infty {:}$

Przykład: Całka z funkcji $f(x)=\cos x$ nie istnieje na przedziale nieskończonym, np. $[0,+\infty ),$ gdyż:

\int \limits _{a}^{\infty }\cos(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}\cos(x)dx=\lim _{A\to \infty }\sin(x){\Big |}_{0}^{A}

=\lim _{A\to \infty }\sin(A)-\sin(0)=\lim _{A\to \infty }\sin(A)

Jednak granica z funkcji sinus nie istnieje w nieskończoności, gdyż funkcja ta oscyluje miedzy $-1$ a $+1.$ Z tego powodu nie istnieje całka niewłaściwa z funkcji cosinus.

Całka funkcji nieograniczonej

Całka z funkcji rozbieżnej do nieskończoności na brzegu granicy całkowania może być skończona

Niech

f\colon [a,b)\to \mathbb {R}

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a,b-\eta ],$ gdzie $0<\eta <b-a,$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b-\eta ,b)$ na lewo od punktu $b$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji $f$ ). Granicę

\int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\eta \to 0}\int \limits _{a}^{b-\eta }f(x){\mbox{d}}x

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a,b].$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa, gdy punkt osobliwy jest a lewej strony przedziału całkowania, a także, gdy jest ma obu końcach przedziału całkowania.

Jeśli zaś w przedziale całkowania jest więcej punktów osobliwych, to całkę liczy się jako sumę całek niewłaściwych, obliczonych na odcinkach, wewnątrz których funkcja jest ciągła.

Przykład: Rozważmy funkcję $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}$ na przedziale $(0,1].$ Chcemy obliczyć całkę

\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx.

Ta całka jest niewłaściwa, ponieważ funkcja ${\tfrac {1}{\sqrt {x}}}$ ma nieciągłość w punkcie $x=0.$

Zapisujemy całkę niewłaściwą jako granicę

\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx

Teraz obliczamy całkę oznaczoną: $\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=2x^{\frac {1}{2}}{\Big |}_{\epsilon }^{1}=2(1)-2(\epsilon ^{\frac {1}{2}})=2-2{\sqrt {\epsilon }}$

Dalej, obliczamy granicę: $\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {\epsilon }}\right)=2-2\cdot 0=2$

Wynik: całka $\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx$ jest niewłaściwa, ale jest zbieżna i jej wartość wynosi 2.

Całkowalność z kwadratem

Def. całkowalności z kwadratem

Funkcję zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej nazywamy całkowalną z kwadratem na danym przedziale (a, b), jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej / modułu jest skończona, przy czym pojęcie to dotyczy zarówno całek na przedziałach skończonych, jak i całek niewłaściwych – określonych na przedziałach nieskończonych lub na przedziałach, gdzie funkcja rozbiega do nieskończoności, tj.

\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}dx<+\infty

– całka oznaczona

\int _{a}^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<+\infty

– jeden z możliwych typów całek niewłaściwych

Tw. o przestrzeni liniowej funkcji całkowalnych z kwadratem

Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue’a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.

Całkowalność w sensie Lebesgue’a

Osobny artykuł: całka Lebesgue’a.

Dla danego zbioru $X$ z określoną na nim σ-algebrą ${\mathfrak {M}}$ i miarą $\mu$ określoną na ${\mathfrak {M}}$ rzeczywista funkcja $f\colon X\to \mathbb {R}$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia $f^{+}=\max(f,0),$ jak i ujemna $f^{-}=\max(-f,0)$ są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue’a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji $|f|=f^{+}+f^{-}.$ Wówczas całkę Lebesgue’a funkcji $f$ definiuje się wówczas wzorem

\int f:=\int f^{+}-\int f^{-}.

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji $f,$ dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej $p\geqslant 0$ funkcję $f$ nazywa się $p$ -sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja $|f|^{p}.$ Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy $f$ jest ciągiem, a $\mu$ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając $f$ funkcją $p$ -całkowalną. Dla $p=1$ mówi się czasem, że $f$ jest bezwzględnie sumowalna / całkowalna.