Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale $[-2,2]$

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany^[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie^[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd^[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował^[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji^[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),

gdzie $a$ jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast $b$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy $ab>1,$ to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

2+{\frac {\log a}{\log b}}.

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem $ab>1$ ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).

Zobacz też

Przypisy

↑ P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 187. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
↑ A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.
↑ B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
↑ KarlK. Weierstrass KarlK., Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26] .

Bibliografia

O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), s. 15-20, 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. [zarchiwizowane z adresu].
G.H. Hardy. Weierstrass’s non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301–325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1.

Linki zewnętrzne

Paweł Mleczko, Tam i z powrotem, czyli o funkcji ciągłej niemającej stycznej do swojego wykresu w żadnym punkcie, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 14 grudnia 2016 [dostęp 2024-10-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weierstrass Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

[1] P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.

[Jahnke-2] Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 187. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

[3] A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.

[4] B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.

[5] KarlK. Weierstrass KarlK., Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26] .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: