Funkcja Dirichleta

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q} ,$ tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1,$ gdy argument jest liczbą wymierną i wartość $0,$ gdy argument jest liczbą niewymierną^[1].

Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzorem^[2]

\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&{\mbox{dla }}x\in \mathbb {Q} ,\\0&{\mbox{dla }}x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}

\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}\left(m!\pi x\right).

Własności

Funkcja Dirichleta ma własności:

jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna,
jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
nie jest całkowalna w sensie Riemanna^[3] – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, przy czym jej całka Lebesgue’a na dowolnym przedziale jest równa zeru^[3], ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue’a zero.

Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dirichlet Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-26].
Dirichlet-function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].