Forma różniczkowa

$k$ -forma różniczkowa, albo krótko: $k$ -forma – bardzo głębokie uogólnienie różniczki funkcji postaci $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .$ Formy różniczkowe można zdefiniować na wiele sposobów np. jako kowariantne antysymetryczne pola tensorowe.

Formy różniczkowe można zdefiniować na zbiorach otwartych w $\mathbb {R} ^{n}$ i, ogólniej, na rozmaitościach różniczkowych. Na zbiorze otwartym w $\mathbb {R} ^{n}$ dowolną $k$ -formę można przedstawić jednoznacznie w postaci

\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},

gdzie $dx^{i}:=d\pi ^{i}$ to pochodna rzutowania na $i$ -tą współrzędną względem bazy standardowej w $\mathbb {R} ^{n},$ tzn. funkcji $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ danej wzorem

\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i},\quad 1\leqslant i\leqslant n,

$\wedge$ to iloczyn zewnętrzny, a $f_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ to pewne funkcje rzeczywiste. $k$ -formę na rozmaitości $M$ można przedstawić w ten sposób lokalnie, tzn. w dziedzinie pewnej mapy $(U,\varphi )$ w otoczeniu pewnego (dowolnego, ale ustalonego) punktu $p\in U\subset M.$ Wówczas $x^{i}$ w powyższym wzorze są współrzędnymi $x^{i}:=\pi ^{i}\circ \varphi \colon U\to \mathbb {R}$ wyznaczonymi przez mapę $(U,\varphi ),$ a $dx^{i}$ oznacza ich odwzorowanie styczne, czyli uogólnienie pochodnej funkcji wektorowej na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami.

Formy różniczkowe odgrywają fundamentalną rolę we współczesnej fizyce, gdyż są jedynymi polami tensorowymi, które można całkować. Wynika to z ich własności transformacyjnych przy zmianie układu współrzędnych dzięki czemu całka z formy różniczkowej nie zależy od wybranego układu współrzędnych. W szczególności rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

Formy różniczkowe różnią się od pozostałych pól tensorowych także tym, że można zdefiniować ich różniczkowanie bez potrzeby wprowadzania koneksji na rozmaitości. Jest to tzw. pochodna zewnętrzna formy różniczkowej.

Formy różniczkowe na zbiorach otwartych w Rⁿ

Definicja

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym. Przestrzenią styczną do $U$ w punkcie $x\in U$ nazwiemy $T_{x}U:=\mathbb {R} ^{n}.$ Oczywiście $T_{x}U$ ma strukturę przestrzeni liniowej dla każdego $x\in U.$ Niech $\Lambda ^{k}(T_{x}U)$ oznacza przestrzeń liniową form antysymetrycznych na $T_{x}U.$ Formą różniczkową na $U$ nazwiemy funkcję $\omega \colon U\to \bigcup _{x\in U}\Lambda ^{k}(T_{x}U)$ taką, że $\omega (x)\in \Lambda ^{k}(T_{x}U)$ dla każdego $x\in U$ ^[1]. Zbiór $k$ -form różniczkowych na $U$ oznaczamy $\Omega ^{k}(U).$

Uwagi

(1) Innymi słowy forma różniczkowa na zbiorze otwartym to funkcja, która punktom zbioru otwartego przyporządkowuje formy antysymetryczne na $\mathbb {R} ^{n}.$

(2) Definicja $T_{x}U$ może się wydawać przerostem formy nad treścią, ale pozwala na bardzo daleko idące uogólnienia.

(3) Funkcje rzeczywiste klasy $C^{r}$ na $U$ utożsamia się z $0$ -formami kładąc $\Omega ^{0}(U):=C^{r}(U).$

Struktura modułu

W $\Omega ^{k}(U)$ można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej nad $\mathbb {R} ,$ definiując działania punktowo

(\omega +\eta )(x):=\omega (x)+\eta (x),

(c\omega )(x):=c\cdot \omega (x)

dla $\omega ,\ \eta \in \Omega ^{k}(U),\ c\in \mathbb {R} ,$ jednakże w praktyce znacznie ważniejsza jest struktura modułu nad $C^{r}(U),$ czyli nad pierścieniem funkcji klasy $C^{r}$ na $U,$ w którym funkcje $f\in C^{r}(U)$ zastępują $c$ w powyższej definicji, tzn. drugą równość należy zastąpić równością

(f\cdot \omega )(x):=f(x)\cdot \omega (x).

Moduł nad pierścieniem tym się różni od przestrzeni liniowej nad ciałem, że ten pierwszy nie musi mieć bazy. Jeżeli ma bazę, to nazywa się go modułem wolnym.

Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych

Zobacz też: Forma wieloliniowa.

Z definicji formy różniczkowej wynika, że $\omega (x)$ dla $x\in U$ jest już $k$ -tensorem antysymetryczną na $T_{x}U.$ To oznacza, że iloczyn zewnętrzny tensorów antysymetrycznych $\wedge \colon \Lambda ^{k}(T_{x}U)\times \Lambda ^{l}(T_{x}U)\to \Lambda ^{k+l}(T_{x}U)$ indukuje odwzorowanie $\wedge \colon \Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{l}(U)\to \Omega ^{k+l}(U)$ dane wzorem

(\omega \wedge \eta )(x):=\omega (x)\wedge \eta (x),

które oznaczamy tym samym symbolem i nazywamy iloczynem zewnętrznym form różniczkowych, albo krótko: iloczynem zewnętrznym.

Różniczka funkcji

Zobacz też: Różniczka zupełna.

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym, a $f\colon U\to \mathbb {R}$ – funkcją różniczkowalną. Różniczka funkcji w punkcie $x\in U$ to przekształcenie liniowe $df(x)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ czyli $1$ -tensor na $\mathbb {R} ^{n}.$ Funkcja różniczkowalna $f$ indukuje odwzorowanie $df$ z $U$ w przestrzeń liniową jednotensorów na $T_{x}U$ dane wzorem

x\mapsto df(x),

które nazywamy różniczką funkcji. Różniczka funkcji spełnia definicję $1$ -formy różniczkowej na $U.$ Możemy ją zapisać

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx^{i},

gdzie $dx^{i}:=d\pi ^{i}$ oznacza różniczkę rzutowania na $i$ -tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n}$ tzn. funkcji $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ danej wzorem

\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.

Postać kanoniczna formy różniczkowej

Zobacz też: Forma wieloliniowa.

Niech $\omega \in \Omega ^{k}(U).$ Ponieważ dla $\omega (x)$ jest $k$ -tensorem na $T_{x}U$ dla każdego $x\in U$ to natychmiast wynika z tego, że $\omega (x)$ możemy zapisać w postaci

\omega (x)=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}},

gdzie $a_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ są pewnymi skalarami, a $(e^{i})$ oznacza bazę dualną do bazy $(e_{i})$ w $T_{x}U$ tzn. zdefiniowaną wzorami

e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}v_{j}e_{j}\right):=v_{j},\quad i=1,\dots ,n.

Okazuje się, że różniczki $dx^{i}:=d\pi ^{i},$ wzięte w dowolnym punkcie $a\in U$ są bazą dualną do bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n}=T_{x}U$ ponieważ

dx^{i}(a)(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=v_{i}

dla dowolnego $a\in U$ i $(v_{1},\dots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ To oznacza, że dowolną $k$ -formę $\omega \in \Omega ^{k}(U)$ możemy jednoznacznie przedstawić w postaci

\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},

gdzie $f_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ są pewnymi funkcjami rzeczywistymi. Tę postać formy różniczkowej nazywamy postacią kanoniczną. Formę $\omega$ z definicji nazywamy ciągłą, klasy $C^{r}$ lub klasy $C^{\infty }$ gdy funkcje $f_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ są odpowiednio ciągłe, klasy $C^{r}$ lub klasy $C^{\infty }.$

Cofnięcie formy różniczkowej

Bardzo ważną operacją na formach różniczkowych jest tzw. cofnięcie formy. Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ będą zbiorami otwartymi. Funkcja różniczkowalna $f\colon U\to V$ indukuje odwzorowanie $f^{*}\colon \Omega ^{k}(V)\to \Omega ^{k}(U)$ dane wzorem

f^{*}\omega (x)(w_{1},\dots ,w_{k}):=\omega (f(x))(df(x)(w_{1}),\dots ,df(x)(w_{k})),

dla $\omega \in \Omega ^{k}(V)$ i $w_{1},\dots ,w_{k}\in T_{x}U,\ k\geqslant 1.$ Jeżeli $\omega$ jest $0$ -formą, czyli zwykłą funkcją to definiujemy

f^{*}\omega :=\omega \circ f.

Odwzorowanie to nazywamy cofnięciem formy przez $f$ . $f^{*}\omega$ jest już $k$ -formą na $U.$ Cofnięcie formy różniczkowej jest odpowiednikiem cofania tensorów.