Epimorfizm

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm $f\colon X\to Y$ mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów $g_{1},g_{2}\colon Y\to Z$ spełniony jest warunek^[1]:

g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\Rightarrow g_{1}=g_{2}.

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny)^[2]. Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Epimorfizm konormalny

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym^[3].

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

\alpha \colon A\to B.

Jest ono równe grupie ilorazowej $B/G,$ gdzie $G$ jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą $\alpha (A).$

Przykłady

Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania „na”.

Niech

f\colon X\to Y

będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki

y_{0}\in Y\setminus f(X).

Niech

y_{1}\in f(X).

Niech

Z=\{y_{0},y_{1}\}

oraz

g_{0}(y)=y_{0}

dla

y\in Y,

g_{1}(y)={\begin{cases}y_{0},&y\in f(X)\\y_{1},&y\notin f(X)\end{cases}}.

Wtedy

g_{0}f=g_{1}f

i

g_{0}\neq g_{1},

co jest sprzeczne z tym, że

f

jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje

y_{0}\in Y\setminus f(X)

i funkcja

f

jest „na”.

Morfizmy identycznościowe są epimorfizmami.

Zobacz też

Przypisy

↑ Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 49.
↑ Epimorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .
↑ Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 250.

Bibliografia

Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Literatura dodatkowa

Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).

[CITEREFSemadeniWiweger197849-1] Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 49.

[2] Epimorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .

[CITEREFSemadeniWiweger1978250-3] Semadeni i Wiweger 1978 ↓, s. 250.

[1]

[2]

[3]

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Epimorfizm

Epimorfizm konormalny

Przykłady

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa