Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny a. ikosaedr^[1]^[2] lub ikozaedr^[3] (z gr.) – najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych^[4]. Ma 30 krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii^[2]^[5]. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu, otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty^[2]. Symetria bryły jest opisana niekrystalograficzną klasą m35^[2].

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwudziestościanu foremnego.

S=5\ a^{2}{\sqrt {3}}\approx 8{,}6603\ a^{2}

V={\frac {5}{12}}\ a^{3}\ (3+{\sqrt {5}})\approx 2{,}1817\ a^{3}

Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych na wpisanych kulach o takim samym promieniu zachodzi zależność^[5]:

{\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}

gdzie

V_{n},\;S_{n}

oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni

n

-ścianu foremnego.

r={\frac {a}{12}}\ {\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\approx 0{,}7558\ a

R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0{,}9511\ a

\delta ={\frac {a(1+{\sqrt {5}})}{4}}

138,2°

I_h

↑ Ikosaedr. [w:] Słownik języka polskiego [on-line]. PWN. [dostęp 2014-03-26].
↑ ^a ^b ^c ^d Dwudziestościan foremny – bryły platońskie [online], sites.google.com [dostęp 2017-06-11] .
↑ Ikozaedr. [w:] Encyklopedia Gutenberga [on-line]. [dostęp 2014-03-26].
↑ dwudziestościan foremny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ ^a ^b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Regular Icosahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ ^a ^b ^c ^d Dwudziestościan foremny – ikosaedr [online], geometria-3d.pl [zarchiwizowane z adresu 2017-05-29] .