Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru^[1]^[2]^[3]^[4] – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą^[5].

Definicja formalna

Niech dany będzie zbiór $U,$ zwany dalej przestrzenią^[1]^[2]^[4]^[6], zbiorem uniwersalnym^[4] lub uniwersum^[4], oraz jego podzbiór $A\subseteq U.$ Dopełnieniem zbioru $A$ nazywa się różnicę

U\setminus A=\{x\in U\colon x\notin A\},

oznaczaną zwykle symbolem $A'$ ^[1]^[2]^[3]^[6] lub $A^{\operatorname {c} }$ ^[2]^[4], a w starszych pozycjach także $\complement _{U}A$ lub, jeśli $U$ jest znane, krótko $\complement A$ (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie $-A$ ^[6], jednak jeżeli $A$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to $-A$ może oznaczać wtedy $\{-a\colon a\in A\}.$

Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów $A,B\subseteq U$ można zapisać w postaci:

A\setminus B=A\cap B'.

Własności

Dla dowolnego uniwersum $U$ prawdziwe są równości

\varnothing '=U,\quad U'=\varnothing .

Dla ustalonego $U$ i dowolnego $A\subseteq U$ zachodzi

(A')'=A,

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

A\cap A'=\varnothing ,

a ich suma daje całe uniwersum,

A\cup A'=U,

co oznacza, że $\{A,A'\}$ jest rozbiciem zbioru $U.$

Dla danych $A,B\subseteq U$ zachodzą prawa de Morgana^[7]:

(A\cup B)'=A'\cap B',

(A\cap B)'=A'\cup B'.

Dodatkowo

B=A'

pociąga

B'=A.

Przykłady

Dopełnieniem zbioru $\{1,2\}$ w zbiorze $\{1,2,3\}$ jest zbiór $\{3\}.$
Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
Dopełnieniem zbioru $\{0,1,2\}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od $2,$ natomiast w przestrzeni $\{-1,0,1,2,3,4,5\}$ jest to zbiór $\{-1,3,4,5\}.$

Przypisy

↑ ^a ^b ^c Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30].
↑ ^a ^b ^c ^d Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
↑ ^a ^b Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.
↑ dopełnienie zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .
↑ ^a ^b ^c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
↑ Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30].

[TM-1] Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30].

[WDTMIT-2] Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.

[WZWDM-3] Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.

[MD-4] Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.

[epwn-5] dopełnienie zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .

[ELITMWZ-6] Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.

[Morgan-7] Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: