Ciało rozkładu wielomianu – w teorii ciał rozszerzenie ciała o wszystkie pierwiastki pewnego wielomianu^[1].

Dla danego ciała i dla wielomianu dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do pierścienia wielomianów tego ciała, ), który rozkłada się w większym ciele na iloczyn wielomianów liniowych ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu to znaczy Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu jest podciałem ^[1].

Dyskusję ciał rozkładu wielomianu Jerzy Browkin zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe. Dowieść można, że każdy wielomian dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci ) w innym ciele będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego By tego dowieźć, dowodzi się wpierw lematu stanowiącego, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie ciała takie, że wielomian ma w tym ciele pierwiastek. A więc ^[1].

Wielomian może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów wielomian tworzy ideał który można oznaczyć także W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie maksymalny^[1] (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należy^[2], w tym wypadku ^[1], ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniu^[2]). Dowodzi się, że pierścień ilorazowy utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałem^[3]. Wobec tego także pierścień ilorazowy powstały z podzielenia pierścienia wielomianów przez jego ideał maksymalny będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem Należy dalej rozpatrzeć element wzięty z Po podstawieniu do wielomianu otrzymuje się to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu ^[1].

Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki W takim wypadku wielomian rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu o stopniu istnieje rozszerzenie ciała obejmujące pierwiastek tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele wielomian rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: przy czym Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od co podpada po założenie indukcyjne. Stanowi ono, że ciało (z tego bowiem ciała wzięto wielomian ) ma rozszerzenie, można je oznaczyć takie, że wielomian stopnia poniżej da się w nim rozłożyć na wielomiany liniowe. Ale także a więc i co oznacza, że wielomian liniowy Oba czynniki wielomianu należą do co oznacza, że wielomian da się rozłożyć na czynniki liniowe, z których każdy należy do Dowodzi to, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia z danego ciała ciało to ma rozszerzenie, w którym da się ów wielomian rozłożyć na czynniki liniowe^[1].

Oznacza to, że w przypadku dowolnego wielomianu dodatniego stopnia z pierścienia wielomianów dowolnego wyjściowego ciała istnieje rozszerzenie zawierające wszystkie jego pierwiastki. Rozszerzenie o te pierwiastki nazywa się właśnie ciałem rozkładu wielomianu ^[1].

Należy jeszcze rozpatrzyć przypadek, kiedy to wielomian nie jest dodatniego, ale zerowego stopnia. Wielomian taki nie ma pierwiastków nienależących do ciała wobec tego już samo stanowi ciało jego rozkładu^[4].

Po udowodnieniu istnienia ciał rozkładu wielomianu rozważa się następnie jedyność takich ciał. Oczywiście ciało rozkładu wielomianu zależy nie tylko od postaci tegoż wielomianu, a więc od jego pierwiastków, przy których się on zeruje, ale również od wyjściowego ciała z którego wzięte zostały współczynniki Pojawia się jednak pytanie, czy po ustaleniu tego ciała może ono mieć kilka różnych rozszerzeń będących ciałami rozkładu czy też może istnieć tylko jedno jedyne takie ciało^[5].

Rozważania na ten temat opierają się na badaniu rozszerzeń izomorfizmów. Okazuje się bowiem, że dowolny izomorfizm dwóch ciał, np. i rozszerzyć można na izomorfizm ich pierścieni wielomianów. Jeśli więc to Wziąć należy wielomian nierozkładalny z pierścienia o pierwiastku należącym do rozszerzenia Izomorfizm będzie przekształcał ten wielomian na wielomian Jak wynika z powyższych rozważań, i ten wielomian będzie miał pierwiastek, oznaczany przez i należący do pewnego rozszerzenia oznaczanego przez Oznacza to w dalszym ciągu istnienie dwóch ciał powstałych przez rozszerzenie o rzeczone dwa pierwiastki, mianowicie i Co więcej izomorfizm rozszerzyć można do kolejnego izomorfizmu przekształcającego pierwsze z tych rozszerzeń w to drugie: Jako że izomorfizm zachowuje własności algebraiczne, przeto będzie w nierozkładalny. Dalej wziąć trzeba dwa -izomorfizmy z pierścieni ilorazowych odpowiednich pierścieni wielomianów w odpowiednie rozszerzenia pojedyncze, mianowicie przekształcające w który dla przyjmuje wartość oraz analogicznie taki, że Następnie z faktu, że wnosi się, że izomorfizmowi pierścieni wielomianów odpowiada izomorfizm ich pierścieni ilorazowych Rzeczony izomorfizm stanowiąc rozszerzenie po podstawieniu doń daje W końcu izomorfizm zdefiniowany jako przekształca w W szczególności, przy wzięciu za i wyjściowego ciała przekształca on jego rozszerzenia pojedyncze Wysnuć stąd można wniosek, że skoro pierwiastki rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu można wzajemnie przekształcać w siebie izomorfizmami, pod względem właściwości algebraicznych nie różnią się one od siebie^[5].

Następnie wykorzystuje się twierdzenie o rozszerzaniu izomorfizmu. Stanowi ono, że dla

• izomorfizmu przekształcającego ciało w ciało
• odpowiadającego mu izomorfizmu pierścieni wielomianów w
• ciała rozkładu wielomianu z
• ciała rozkładu wielomianu z otrzymywanego poprzez zadziałanie izomorfizmem na wielomian

można rozszerzyć do izomorfizmu który przekształcał będzie ciało w ciało ^[5].

Browkin dowodzi tego twierdzenia, wykorzystując indukcję matematyczną po stopniu wielomianu Mianowicie dla wielomianów stopnia zerowego ciała ich rozkładu są wyjściowymi ciałami, wobec czego szukanym izomorfizmem będzie po prostu wyjściowy izomorfizm Sytuacja komplikuje się, gdy w grę wchodzą wielomiany wyższego stopnia. Założenie indukcyjne przyjmować będzie, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopnia mniejszego od wyprowadzić je zaś należy dla tegoż właśnie stopnia^[5]. Przyjmując rozkład wielomianów i analogicznie ^[6] (są tego samego stopnia, gdyż ^[6]), definiuje się jako rozszerzone o wszystkie od do z powyższego iloczynu, analogicznie definiuje się jako rozszerzenie o odpowiednie Jednym z pierwiastków wielomianu jest Wobec tego w rozkładzie występuje taki nierozkładalny wielomian że znika on dla Poddając tenże wielomian działaniu wcześniej określonego izomorfizmu otrzymuje się wielomian także nierozkładalny, i z kolei występujący w rozkładzie wielomianu Ma on wobec tego swój pierwiastek wśrod od do pierwiastek ten można oznaczyć dowolnie, dla prostoty na przykład Wtedy dzięki rozumowaniu przedstawionemu wcześniej wnosi się o istnieniu izomorfizmu zdefiniowanego jak wyżej, a więc stanowiącego rozszerzenie wyjściowego izomorfizmu i takiego, że a więc przyporządkowującemu pierwiastkowi pierwiastek Pozwala to na rozłożenie wielomianów i na wielomian liniowy o pierwiastku czy oraz inny wielomian z pierścienia czy o stopniu mniejszym od (a więc do którego będzie się stosowało założenie indukcyjne), oznaczany na przykład odpowiednio i Ponieważ jest izomorficzny do i jego czynnik jest izomorficzny do czynnika wielomianu izomorficzne są również występujące w obu rozkładach wielomiany i Wobec tego ciało traktować można jako ciało rozszerzone następnie o wszystkie począwszy od aż do i tak samo ciało jako W obu przypadkach są to ciała rozkładu wielomianów a więc o stopniu od mniejszym. Dotyczy ich założenie indukcyjne, istnieje więc izomorfizm przekształcający pierwsze w drugie. Izomorficzne są też wyjściowe ciała i Wynika z tego, że izomorficzne muszą być w końcu także i Dowodzi to twierdzenia o rozszerzaniu izomorfizmu^[6].

Nic jednak w powyższym rozumowaniu nie wskazuje, jakoby ciała i musiały różnić się od siebie. Wprost przeciwnie, muszą być one izomorficzne. Każde wszak ciało jest izomorficzne ze sobą samym. Podstawić do twierdzenia można więc dwukrotnie to samo wyjściowe ciało Nie wymaga również rzeczone rozumowanie, by i nie były tym samym wielomianem. Przyjąć bowiem można, że wiążący je izomorfizm jest identycznością. Po wprowadzeniu powyższych dwóch założeń otrzymuje się z dowiedzionego twierdzenia, że każde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianu z pierścienia wielomianów tego samego ciała są -izomorficzne. Inaczej mówiąc, są tożsame z dokładnością do izomorfizmu^[6].

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.

• Splitting field of a polynomial (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].