Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

Funkcja $\psi (x)$ jest różniczkowalna w $D$
$I=\psi (D)$ jest przedziałem
Funkcja $g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I,$ tzn. $G'(t)=g(t)$ dla $t$ należących do $I$
$f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D$

to funkcja $f$ jest całkowalna w $D$ oraz:

\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

\int f(g(x))g'(x)dx,

to można zmienić podstawę całkowania na $g(x){:}$

\int f(g(x))dg(x).

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

Funkcja $f$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
Funkcja $g$ określona na przedziale $[a;b]$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
$g'(x)\neq 0$ dla każdego $x$ z przedziału $(a;b).$
Obraz funkcji $g$ zawiera się w dziedzinie funkcji $f.$

Wówczas^[1]:

\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt

Przykłady

Obliczając całkę $\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx,$ zastosować można podstawienie $\ln(x)=t,$ tzn. ${\tfrac {dx}{x}}=dt,$ więc:

\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(x)+C.

Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

\int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C.

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R(\sin x,\cos x)$ ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}.$ Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus $(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\cos x$
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus $(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\sin x$
Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie $(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\operatorname {tg} x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}

{\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} t

dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt

zachodzi:

\sin x={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}

\cos x={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

W przypadku podstawienia $t=\operatorname {tg} x$ mamy dla funkcji postaci $R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x){:}$

x=\operatorname {arctg} t,

dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}

\sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}

\cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}

\sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

\int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=

=\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1|+C

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci $R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x),$ gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x.$ Wobec tego otrzymuje się:

ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}},

dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t.$

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}.

Zachodzi:

ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}},

dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}.$

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}.

Wtedy gdy $(a>0)\vee (b^{2}-4ac>0),$ to da się tak dobrać $\alpha ,$ aby $\lambda >0.$

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $ax^{2}+bx+c.$ Przyjmuje się wtedy:

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1}).

Stąd:

(x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}},

dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right).$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx,$ gdzie $a$ i $b$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz $m,n$ i $p$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto $p={\frac {q}{r}},$ gdzie $q,r$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

gdy $p$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
gdy ${\frac {m+1}{n}}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie $t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.$
gdy ${\frac {m+1}{n}}+p$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie $t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.$

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

$\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\sinh t$ lub $x=a\operatorname {tg} t$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\cosh t$ lub $x=a\sec t$
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx$ – podstawiamy $x=a\operatorname {tgh} t$ lub $x=a\sin t$

Inne podstawienia

Całki typu $\int R(e^{x})dx$ obliczamy przez podstawienie $e^{x}=t.$ Stąd: $x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}.$
Całki typu $\int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\dots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx,$ gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając ${\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k},$ gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

całkowanie przez części

Przypisy

↑ całkowy rachunek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .

Linki zewnętrzne

Tomasz Drwięga, Podstawienia Eulera, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-09].

Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-09]:

Analiza – całkowanie przez podstawienie, kanał Khan Academy.
Helena Kazieko, Całkowanie przez podstawienie, kanał Nauka / Science SGGW, 5 maja 2020.
Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. IV. – Całkowanie przez podstawienie, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022.

Integration by substitution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[epwn-1] całkowy rachunek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .

[1]

typy całek	nieoznaczona (funkcja pierwotna) oznaczona Riemanna i Darboux Lebesgue’a Burkilla Bochnera Daniella-Stone’a Henstocka-Kurzweila Haara Hellingera Chinczyna Kołmogorowa krzywoliniowa McShane’a niewłaściwa całka Gaussa Pettisa Pfeffera Stieltjesa Lebesgue’a-Stieltjesa Riemanna-Stieltjesa stochastyczne Itô Stratonowicza
metody całkowania nieoznaczonego	przez części przez podstawienie Eulera trygonometryczne uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania przez ułamki proste za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych za pomocą wzoru Eulera metodą współczynników nieoznaczonych
metody całkowania oznaczonego	całkowanie numeryczne różniczkowanie pod znakiem całki
twierdzenia	Newtona-Leibniza – podstawowe rachunku całkowego Riesza-Skorochoda

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Fahrer / Team für die Suche eingeben:

Eisspeedway

Całkowanie przez podstawienie

Opis metody

Przykłady

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Przykłady

Podstawienia Eulera

I podstawienie Eulera

II podstawienie Eulera

III podstawienie Eulera

Całkowanie różniczek dwumiennych

Podstawienia trygonometryczne

Inne podstawienia

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne