Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa, całka Stieltjesa^[1] – jedno z uogólnień całki Riemanna; podał je Thomas Joannes Stieltjes.

Definicja

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej $f$ względem funkcji $g$ na przedziale $[a,b]$ oznacza się symbolem

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

P=\{x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{n}:a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i})),

gdzie $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}].$

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę $A$ (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje liczba $\delta >0$ taka, że dla każdego podziału $P=\{a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}$ o średnicy $d(P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}:i=0,\dots ,n-1\}<\delta$ i dowolnych $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ zachodzi

|S(P,f,g)-A|<\varepsilon .

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna

Jeśli $g(x)=x,$ to wprost z definicji widać, że całka $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$ jest całką Riemanna $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli $g$ jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

\int _{a}^{b}1\,dg(x)=V_{a}^{b}(g).

Zatem jeśli $g$ nie ma wahania skończonego, to całka $\int _{a}^{b}1\,dg(x)$ nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że $g$ ma wahanie skończone. Jeśli $g(x)$ ma wahanie skończone, to jest różnicą $h(x)-j(x)$ dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dh(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dj(x).

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych $g,$ by następnie, korzystając z powyższego wzoru, przejść do ogólnych rozważań.

Przypisy

↑ całka Stieltjesa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .

[epwn-1] całka Stieltjesa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .

[1]

typy całek	nieoznaczona (funkcja pierwotna) oznaczona Riemanna i Darboux Lebesgue’a Burkilla Bochnera Daniella-Stone’a Henstocka-Kurzweila Haara Hellingera Chinczyna Kołmogorowa krzywoliniowa McShane’a niewłaściwa całka Gaussa Pettisa Pfeffera Stieltjesa Lebesgue’a-Stieltjesa Riemanna-Stieltjesa stochastyczne Itô Stratonowicza
metody całkowania nieoznaczonego	przez części przez podstawienie Eulera trygonometryczne uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania przez ułamki proste za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych za pomocą wzoru Eulera metodą współczynników nieoznaczonych
metody całkowania oznaczonego	całkowanie numeryczne różniczkowanie pod znakiem całki
twierdzenia	Newtona-Leibniza – podstawowe rachunku całkowego Riesza-Skorochoda

Fahrer / Team für die Suche eingeben: