Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni o tej własności, że każdy zbiór otwarty w można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie^[1]. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli jest topologią w zbiorze to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

• rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę); bazą tej topologii jest również rodzina wszystkich ograniczonych przedziałów otwartych o końcach wymiernych.
• rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni,
• rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej.
• rodzina kwadratów otwartych o bokach równoległych do osi współrzędnych.
• rodzina kwadratów otwartych o bokach równoległych do osi współrzędnych i wierzchołkach mających współrzędne wymierne.
• rodzina wszystkich przedziałów postaci gdzie i są liczbami rzeczywistymi i jest bazą topologii w zbiorze liczb rzeczywistych, nazywaną topologią strzałki.

Podstawowe własności bazy:

• Jeżeli i są takimi elementami bazy, że to w zbiorze zawarty jest pewien niepusty element bazy.
• Dla każdego punktu przestrzeni, jego dowolne otoczenie zawiera element bazy, który zawiera ten punkt.
• Przekształcenie jest ciągłe ( i są przestrzeniami topologicznymi), gdy jest zbiorem otwartym dla każdego dla pewnej bazy przestrzeni Podobnie, przekształcenie jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka baza przestrzeni że zbiór jest zbiorem otwartym w
• Jeżeli są bazami odpowiednio przestrzeni to zdefiniowana niżej rodzina zbiorów jest bazą przestrzeni

• Rodzina podzbiorów zbioru jest bazą pewnej topologii w wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące dwa warunki:
  • 
  • dla dowolnych ^[2].

Ciężarem (albo wagą, rzadziej ciężkością) przestrzeni topologicznej nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną o tej własności, że istnieje w tej przestrzeni baza przestrzeni mocy Innymi słowy,

– baza przestrzeni

• Ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy jej mocy.
• Ciężar każdej przestrzeni euklidesowej wynosi
• Ciężar prostej Sorgenfreya wynosi continuum.
• Jeżeli jest przestrzenią regularną, to gdzie oznacza gęstość przestrzeni
• Jeżeli jest przestrzenią topologiczną o ciężarze większym niż 1, dla każdego oraz zbiór jest nieskończony, to

• Jeżeli oznacza ciężar sieciowy przestrzeni to Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to
• Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to a jeżeli ponadto przestrzeń jest obrazem ciągłym przestrzeni zwartej to
• Jeżeli i są przestrzeniami topologicznymi, a w rozpatruje się topologię zwarto-otwartą lub topologię zbieżności punktowej, to Ponadto jeżeli jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz jest przestrzenią lokalnie zwartą, to ciężar przestrzeni z topologią zwarto-otwartą nie przekracza

Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.

• baza (przestrzeń liniowa)

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce