Asymptota

Funkcja ${\tfrac {1}{x}}+x$ ma dwie asymptoty: $y=x$ oraz $x=0.$

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη, „nie stykać się”) – prosta $l$ jest asymptotą danej krzywej $C$ (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej $C$ odległość tego punktu od prostej $l$ dąży do zera^[1].

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Odmiany asymptot funkcji

Pionowe

Jeśli krzywa dana jest w postaci $y=f(x),$ gdzie $f$ jest funkcją, która nie jest określona w punkcie $x=a,$ to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

$\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota lewostronna)
$\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota prawostronna)
$\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa $+\infty$ a druga $-\infty$ )

Poziome i ukośne

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej $y=ax+b$ dla krzywej danej w postaci $y=f(x)$ można wyznaczyć jako granice:

w przypadku asymptoty prawostronnej:

a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}

oraz

b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)

w przypadku asymptoty lewostronnej:

a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}

oraz

b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających $a$ lub $b$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli $a=0,$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też

granica funkcji

Przypisy

↑ Asymptota, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .

Bibliografia

Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 14. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
- Asymptoty ukośne, 24 października 2018.
- Więcej o asymptotach ukośnych, 25 października 2018.
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Asymptote, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].
Asymptote (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].

[1] Asymptota, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .

[1]

Fahrer / Team für die Suche eingeben: