Algorytm faktoryzacji rho Pollarda
Algorytm faktoryzacji Rho Pollarda – algorytm rozkładu liczb na czynniki pierwsze, opracowany przez Johna Pollarda w 1975 roku. Jest szczególnie efektywny przy rozkładaniu liczb mających niewielkie dzielniki. Dla liczb będących iloczynem dwóch liczb pierwszych tej samej długości, jego złożoność jest rzędu .
Algorytm ten stał się sławny, gdy użyto go do faktoryzacji ósmej liczby Fermata. Pełna faktoryzacja F8 zajęła 2 godziny pracy komputera UNIVAC 1110.
Idea
Algorytm wykorzystuje paradoks dnia urodzin, mówiący, że aby znaleźć z prawdopodobieństwem większym niż ½ dwie liczby i przystające modulo wystarczy wylosować mniej więcej liczb. Jeśli jest szukanym dzielnikiem to , gdyż zarówno jak i dzielą się przez Wystarczy zatem losować kolejne liczby i sprawdzać, czy któraś różnica ma nietrywialne wspólne dzielniki z
Zamiast zapamiętywać wszystkie wylosowane liczby i sprawdzać każdą parę, algorytm wykorzystuje metodę znajdowania cyklu funkcji. Jakaś pseudolosowa funkcja modulo jest wybierana jako generator dla dwóch sekwencji. Jedna sekwencja wykonuje dwie iteracje, w czasie gdy druga wykonuje jedną. Niech oznacza aktualną wartość w pierwszej sekwencji, a w drugiej. W każdym kroku wyliczany jest Jeśli wynik jest w którymś momencie równy algorytm kończy się błędem, gdyż wtedy i dalsze działanie będzie już tylko powtarzaniem dotychczasowych obliczeń. Jeśli w którymkolwiek momencie wynik jest większy od 1 i mniejszy od jest on dzielnikiem
Jeśli patrzymy na sekwencję modulo szukany dzielnik jej wartości muszą w końcu utworzyć cykl, o długości rzędu Diagram takiej sekwencji jest przedstawiony na rysunku – przypomina grecką małą literę (pol. ro), stąd nazwa algorytmu.
Algorytm
Wejście: – liczba, którą próbujemy rozłożyć; – pseudolosowa funkcja modulo
Wyjście: nietrywialny czynnik albo błąd.
x ← 2, y ← 2; d ← 1
Dopóki d = 1:
x ← f(x)
y ← f(f(y))
d ← NWD(|x − y|, n)
Jeśli 1 < d < n, to zwróć d.
Jeśli d = n, to zasygnalizuj porażkę.
Warto zauważyć, że algorytm zawsze kończy się błędem dla będącego liczbą pierwszą, ale może też zwrócić błąd dla złożonego. Dlatego po błędzie można spróbować ponownie, z inną funkcją
Aby algorytm był efektywny, zwykle używa się szybko wyliczalnych funkcji np. wielomianów ze współczynnikami całkowitymi. Najczęściej mają one postać:
Bibliografia
- Richard P. Brent. An Improved Monte Carlo Factorization Algorithm. „BIT”. 20, s. 176–184, 1980. (ang.).
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do Algorytmów.