Ausdehnungskoeffizient

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Der Ausdehnungskoeffizient CTE (englisch coefficient of thermal expansion) ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes bezüglich Veränderungen seiner Abmessungen bei Temperaturveränderungen beschreibt – deswegen oft auch thermischer Ausdehnungskoeffizient genannt. Der hierfür verantwortliche Effekt ist die Wärmeausdehnung. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom verwendeten Stoff, es handelt sich also um eine stoffspezifische Materialkonstante. Da die Wärmeausdehnung bei vielen Stoffen nicht gleichmäßig über alle Temperaturbereiche erfolgt, ist auch der Wärmeausdehnungskoeffizient selbst temperaturabhängig und wird deshalb für eine bestimmte Bezugstemperatur oder einen bestimmten Temperaturbereich angegeben.

Unterschieden wird zwischen dem thermischen Längenausdehnungskoeffizienten α (auch linearer Wärmeausdehnungskoeffizient), dem thermischen Flächenausdehnungskoeffizienten β (auch flächiger oder quadratischer Ausdehnungskoeffizient) und dem thermischen Raumausdehnungskoeffizienten γ (auch räumlicher oder Volumen- oder kubischer Ausdehnungskoeffizient). Da im Allgemeinen die Ausdehnungskoeffizienten kleine Zahlenwerte darstellen, gilt für isotrope Werkstoffe:

\beta =2\alpha

und

\gamma =3\alpha

.

Längenausdehnungskoeffizient

Der Längenausdehnungskoeffizient $\alpha$ eines Festkörpers mit der Länge $L$ ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Temperaturänderung $\mathrm {d} T$ und der relativen Längenänderung ${\frac {\mathrm {d} L}{L}}$ . Mit ihm wird demnach die relative Längenänderung bei einer Temperaturänderung beschrieben. Er ist eine stoffspezifische Größe, die die Einheit $\mathrm {K} ^{-1}$ („pro Kelvin“ gesprochen) hat und über die folgende Gleichung definiert ist:

\alpha L={\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} T}}

Die temperaturabhängige Länge eines Stabes kann über die Lösung dieser Differentialgleichung berechnet werden, sie lautet:

L(T)=L(T_{0})\cdot \exp \left(\int _{T_{0}}^{T}\alpha (T)\ \mathrm {d} T\right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Ausdehnungskoeffizienten $\alpha (T)=\alpha (T_{0})$ wird daraus zusammen mit der ursprünglichen Länge $L_{0}=L(T_{0})$ bei gleichmäßiger Erwärmung oder Abkühlung um die Temperaturdifferenz $\Delta T=T-T_{0}$ :

L=L_{0}\cdot \exp(\alpha \cdot \Delta T)

Für die meisten Anwendungen ist es ausreichend, folgende Näherung zu verwenden, bei der die Exponentialfunktion durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylorreihe angenähert wurde:

L\approx L_{0}(1+\alpha \cdot \Delta T)

Die Längenänderung $\Delta L=L-L_{0}$ in linearer Näherung lautet somit:

\Delta L\approx \alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T

Bei anisotropen Festkörpern ist der Längenausdehnungskoeffizient ebenfalls richtungsabhängig. Dies ist insbesondere bei der Verwendung von Tabellenwerten aus der Literatur zu beachten.

Beispiele

Aluminium hat einen Wärmeausdehnungskoeffizient $\alpha =23{,}1\cdot 10^{-6}\,\mathrm {K} ^{-1}={\frac {23{,}1}{10^{6}\,\mathrm {K} }}$ . Das bedeutet, dass sich ein 1000 Meter langes Aluminiumstück bei einer Temperaturerhöhung von 1 Kelvin um 23,1 mm ausdehnt.

Ein 8 Meter langes Aluminiumstück, das um 70 Kelvin erwärmt wird, dehnt sich um 13 mm aus, denn $\Delta L=\alpha \cdot L\cdot \Delta T=23{,}1\cdot 10^{-6}\,\mathrm {K} ^{-1}\cdot 8\,\mathrm {m} \cdot 70\,\mathrm {K} \approx 0{,}013\,\mathrm {m} \,.$

Letzteres Beispiel beschreibt z. B. acht seitlich aneinandergeschraubte Solarmodule mit Aluminiumrahmen und deren ungefähren maximalen Temperaturunterschied zwischen Sommer (sonnenbestrahltes Aluminium) und Winter (Lufttemperatur in der Nacht). Man erkennt daran, dass die Wärmeausdehnung bei der Konstruktion der Befestigungs- und Rahmenbauteile berücksichtigt werden muss, z. B. durch flexible oder verschiebbare Befestigungselemente.

Raumausdehnungskoeffizient

Der Raumausdehnungskoeffizient $\gamma$ hat wie der Längenausdehnungskoeffizient $\alpha$ die Einheit $\mathrm {K} ^{-1}$ . Er gibt das Verhältnis zwischen der relativen Volumenzunahme ${\frac {\Delta V}{V}}$ und der Temperaturänderung $\Delta T$ eines Körpers an. Mathematisch ist er definiert durch:

\gamma ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p,N}

wobei die den partiellen Ableitungen als Index nachgestellten Größen Druck $p$ und Teilchenzahl $N$ konstant zu halten sind. Die temperaturabhängige Lösung hierfür lautet analog zu oben:

V(T)=V(T_{0})\cdot \exp \left(\int _{T_{0}}^{T}\gamma (T)\ \mathrm {d} T\right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Raumausdehnungskoeffizient $\gamma (T)=\gamma (T_{0})$ ergibt sich zusammen mit $V(T_{0})=V_{0}$ :

V=V_{0}\cdot \exp(\gamma \cdot \Delta T)

Ebenso wie für den Längenausdehnungskoeffizienten kann hier die Linearisierung als Näherung für kleine Temperaturänderungen benutzt werden:

V\approx V_{0}(1+\gamma \cdot \Delta T)

Ideales Gas:

Mit einer Maxwell-Relation ist es möglich, den Raumausdehnungskoeffizienten (auch als Volumenausdehnungskoeffizient bekannt) eines idealen Gases mit der Entropie $S$ in Verbindung zu bringen:

\gamma ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p,N}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T,N}

Da die Masse $m=\rho (T)\cdot V(T)$ wegen der Massenerhaltung temperaturunabhängig ist, ergibt sich der Raumausdehnungskoeffizient aus der Dichte $\rho (T)$ in Abhängigkeit von der Temperatur:

\gamma =-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}

Siehe dazu: Ideales Gasgesetz

Ist der Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur bekannt, so ergibt sich die Dichte aus:

\rho (T)=\rho (T_{0})\cdot \exp \left(-\int _{T_{0}}^{T}\gamma (T)\ \mathrm {d} T\right)

Hierbei ist $T_{0}$ eine beliebige Temperatur, z. B. $T_{0}=298{,}15\,\mathrm {K} =25\,^{\circ }{\text{C}}$ , bei der die Dichte $\rho (T_{0})$ bekannt ist.

Eduard Grüneisen hat gezeigt, dass der Quotient $\alpha /c_{p}$ zwischen dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten $\alpha$ und der spezifischen Wärmekapazität $c_{p}$ näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist.

Im Allgemeinen ist der Wärmeausdehnungskoeffizient eine positive Größe. Wegen des Massenerhaltungssatzes geht daher bei den meisten Stoffen eine Temperaturerhöhung mit einer Verringerung der Dichte einher. Manche Stoffe, wie beispielsweise Wasser zwischen $0$ und $4\,^{\circ }{\text{C}}$ , zeigen jedoch in bestimmten Temperaturbereichen das als Dichteanomalie bezeichnete Verhalten, bei dem ein negativer Ausdehnungskoeffizient beobachtet wird. Außerdem gibt es Materialien, wie zum Beispiel einige Arten von Glaskeramik, deren Raumausdehnungskoeffizient verschwindend gering ist.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient kann auf empirischem Wege durch Messungen ermittelt werden und gilt nur für den Stoff und für den Temperaturbereich, an dem beziehungsweise in dem die Messung erfolgte.

Zusammenhang zwischen Längen- und Raumausdehnungskoeffizienten

Für isotrope Festkörper kann das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen:

\gamma =3\cdot \alpha

Dies gilt aber nur näherungsweise für geringe Temperaturdifferenzen. Siehe dazu die folgenden Unterkapitel.

Die genannte (Grenzwert)formel $\gamma =3\cdot \alpha$ für kleine Temperaturdifferenzen weist bei der Berechnung des Volumenausdehnungskoeffizienten von Aluminium einen relativen prozentualen Fehler von ca. −0,1 % auf, wenn die Temperaturdifferenz des Ausdehnungsversuches 50 K ist. Bei 200 K erreicht der relative Fehler des kubischen Ausdehnungskoeffizienten fast −0,5 %. Es wird jeweils ein etwas zu niedriger Wert des kubischen Ausdehnungskoeffizienten mit dieser Formel berechnet für große Temperaturdifferenzen.

Herleitung der Temperatur(differenz)abhängigkeit

Aus der Ausdehnung eines Würfels lässt sich die Gleichung der Temperatur(differenz)abhängigkeit der Verknüpfung beider mittlerer Ausdehnungskoeffizienten, also des linearen und des kubischen, eines Ausdehnungsversuches herleiten:

Die Anfangswerte des Versuches sind $l_{0}$ (Anfangs-Kantenlänge) und $V_{0}$ (Anfangs-Volumen).
Die Endwerte nach der thermischen Ausdehnung sind: $l_{2}$ und $V_{2}$ .

Es gilt: $V_{0}={l_{0}}^{3}$ und $V_{2}={l_{2}}^{3}$ .

Für die Längenänderung durch thermische Ausdehnung gilt: $\Delta {l}=l_{2}-l_{0}=\Delta {T}\cdot l_{0}\cdot {\bar {\alpha }}$ .

Das Volumen des Würfels nach der Ausdehnung, $V_{2}$ , ergibt sich zu:

V_{2}=(l_{0}+\Delta {l})^{3}

.

Nach Ausmultiplizieren des kubischen Binoms folgt somit:

V_{2}={l_{0}}^{3}+(\Delta {l})^{3}+3\cdot {l_{0}}^{2}\cdot \Delta {l}+3\cdot l_{0}\cdot (\Delta {l})^{2}

.

Durch Subtrahieren des Anfangsvolumens $V_{0}={l_{0}}^{3}$ folgt daraus die aus der thermischen Ausdehnung resultierende Volumenänderung des Würfels:

\Delta {V}=[V_{2}]-V_{0}=[{l_{0}}^{3}+(\Delta {l})^{3}+3\cdot {l_{0}}^{2}\cdot \Delta {l}+3\cdot l_{0}\cdot (\Delta {l})^{2}]-{l_{0}}^{3}

und damit:

\Delta {V}=(\Delta {l})^{3}+3\cdot {l_{0}}^{2}\cdot \Delta {l}+3\cdot l_{0}\cdot (\Delta {l})^{2}

.

Nun wird in der Definitionsgleichung des kubischen Ausdehnungskoeffizienten das Differenzvolumen $\Delta {V}$ substituiert (ausgetauscht) durch diese Gleichung:

{\bar {\gamma }}={\frac {\Delta {V}}{V_{0}\cdot \Delta {T}}}={\frac {(\Delta {l})^{3}+3\cdot {l_{0}}^{2}\cdot \Delta {l}+3\cdot l_{0}\cdot (\Delta {l})^{2}}{V_{0}\cdot \Delta {T}}}

.

Es folgt durch Substituieren von $V_{0}={l_{0}}^{3}$ und $\Delta {l}=\Delta {T}\cdot l_{0}\cdot {\bar {\alpha }}$ :

{\bar {\gamma }}={\frac {(\Delta {T}\cdot l_{0}\cdot {\bar {\alpha }})^{3}+3\cdot {l_{0}}^{2}\cdot (\Delta {T}\cdot l_{0}\cdot {\bar {\alpha }})+3\cdot l_{0}\cdot (\Delta {T}\cdot l_{0}\cdot {\bar {\alpha }})^{2}}{{l_{0}}^{3}\cdot \Delta {T}}}

.

Kürzen von ${l_{0}}^{3}$ unter und über dem Bruchstrich sowie Kürzen von $\Delta {T}$ führt letztlich zu folgender Gleichung, die die Abhängigkeit beider Ausdehnungskoeffizienten bei einem Ausdehnungsversuch mit realen (endlichen) nichtdifferentiellen Temperaturdifferenzen $\Delta {T}$ beschreibt:

{\bar {\gamma }}=(\Delta {T})^{2}\cdot ({\bar {\alpha }})^{3}+3\cdot \Delta {T}\cdot ({\bar {\alpha }})^{2}+3\cdot {\bar {\alpha }}

.

Als Grenzwert zeigt diese Gleichung die bekannte Gleichung $\gamma =3\cdot \alpha$ für den Fall, dass die Temperaturdifferenz gegen Null geht.

Hinweis: durch das Kürzen der Temperaturdifferenz (unter dem Bruchstrich) reduzierte sich der Exponent (Hochzahl) der Temperaturdifferenzen (über dem Bruchstrich) in dieser Gleichung jeweils um den Wert 1 und ist damit immer kleiner als der des mittleren linearen Ausdehnungskoeffizienten ${\bar {\alpha }}$ . Für „reale“ Temperaturdifferenzen (bis zu mehreren Tausend Kelvin) ist der linke additive Term in der genannten Gleichung nicht praktisch relevant, da der lineare Ausdehnungskoeffizient $\alpha$ als Kubikzahl (dritte Potenz) praktisch keinen relevanten Zuwachs zum kubischen Ausdehnungskoeffizienten $\gamma$ leistet.

Sonderfall differentieller Temperaturdifferenzen des Ausdehnungsversuches

Für isotrope Festkörper gilt, dass sich die Längenänderung in allen drei Raumrichtungen gleich verhält. Das Volumen eines Quaders ist gegeben durch das Produkt seiner Kantenlängen $V=L_{1}\cdot L_{2}\cdot L_{3}$ . Das vollständige Differential des Volumens lautet dann:

\mathrm {d} V=L_{1}L_{2}\,\mathrm {d} L_{3}+L_{1}L_{3}\,\mathrm {d} L_{2}+L_{2}L_{3}\,\mathrm {d} L_{1}

Eingesetzt in die Definition des Raumausdehnungskoeffizienten ergibt sich:

\gamma ={\frac {1}{V}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} T}}={\frac {1}{L_{3}}}{\frac {\mathrm {d} L_{3}}{\mathrm {d} T}}+{\frac {1}{L_{2}}}{\frac {\mathrm {d} L_{2}}{\mathrm {d} T}}+{\frac {1}{L_{1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{1}}{\mathrm {d} T}}

Aufgrund der vorausgesetzten Isotropie sind die drei Terme auf der rechten Seite jeweils gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten, es gilt also:

\gamma =3\cdot \alpha

Für isotrope Festkörper kann also das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen, wenn die Temperaturdifferenzen gering sind.

Bestimmung aus realen Temperatur-, Volumen- oder Dichtedifferenzen

Praktisch ist es nicht einfach, den Ausdehnungskoeffizient mit kleinen Temperaturdifferenzen zu bestimmen. Man wendet größere Differenzen an. Andernfalls gerät man schnell an die Grenzen der Messtechnik/Messgenauigkeit.

Aus den Definitionsgleichungen für Längenausdehnungskoeffizienten und Volumenausdehnungskoeffizienten folgen die zwei Grundgleichungen der Ausdehnung:

l_{2}=l_{0}(1+{\bar {\alpha }}(T_{2}-T_{0}))

und

V_{2}=V_{0}(1+{\bar {\gamma }}(T_{2}-T_{0}))

.

Für alle Feststoffe und Flüssigkeiten, die keine Dichteanomalie aufweisen, gilt daher:

V_{2}>V_{0}

und

l_{2}>l_{0}

für

T_{2}>T_{0}

.

Die Ausdehnungskoeffizienten sind hier Mittelwerte für den Temperaturbereich von Anfangstemperatur $T_{0}$ bis Endtemperatur $T_{2}$ des Versuchs. Nun kann man die Definitionsgleichung des Würfelvolumens $V_{0}=(l_{0})^{3}$ bzw. $V_{2}=(l_{2})^{3}$ als Volumen oder als Kantenlänge ( $l_{0}={\sqrt[{3}]{V_{0}}}$ oder $l_{2}={\sqrt[{3}]{V_{2}}}$ ) in eine der beiden Gleichungen einführen. Danach setzt man das Endvolumen $V_{2}$ oder die Endlänge $l_{2}$ beider Gleichungen einander gleich. Durch Teilen durch Anfangsvolumen $V_{0}$ oder Anfangslänge $l_{0}$ entstehen die Quotienten von Länge und Volumen. Die Dichten sind umgekehrt proportional zu den Volumina; spezifische Volumina sind direkt proportional zu den Volumina. Dies führt auf folgende Relation zwischen Längen $l$ , Volumina $V$ , spezifischen Volumina $v$ und Dichten $\rho$ bei realen (nicht-differenziellen) Temperaturdifferenzen eines Ausdehnungsversuches:

\left({\frac {l_{2}}{l_{0}}}\right)^{3}={\frac {V_{2}}{V_{0}}}={\frac {v_{2}}{v_{0}}}={\frac {\rho _{0}}{\rho _{2}}}=1+{\bar {\gamma }}(T_{2}-T_{0})=(1+{\bar {\alpha }}(T_{2}-T_{0}))^{3}

Wie man sieht sind mittlerer Längenausdehnungskoeffizient und mittlerer Volumenausdehnungskoeffizient für endliche Temperaturdifferenzen nur ineinander (exakt) umrechenbar, wenn die Temperaturdifferenz bekannt ist:

{\bar {\alpha }}={\frac {{\sqrt[{3}]{(1+{\bar {\gamma }}(T_{2}-T_{0}))}}-1}{(T_{2}-T_{0})}}

und

{\bar {\gamma }}={\frac {(1+{\bar {\alpha }}(T_{2}-T_{0}))^{3}-1}{(T_{2}-T_{0})}}

.

Ist die Temperaturdifferenz des Versuches genau 1 K, vereinfachen sich die vorstehenden drei Gleichungen erheblich.

Alternative Definitionsgleichungen für reale Temperaturdifferenzen

für $T_{2}>T_{0}$ und $\Delta {T}=T_{2}-T_{0}$ (analog auch für Längen und Volumen) gilt:

\alpha _{\text{mittl.}}={\bar {\alpha }}={\frac {\Delta {l}}{l_{0}\cdot \Delta {T}}}={\frac {({\frac {l_{2}}{l_{0}}})-1}{\Delta {T}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{({\frac {V_{2}}{V_{0}}})}}-1}{\Delta {T}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{({\frac {v_{2}}{v_{0}}})}}-1}{\Delta {T}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{({\frac {\rho _{0}}{\rho _{2}}})}}-1}{\Delta {T}}}

\gamma _{\text{mittl.}}={\bar {\gamma }}={\frac {\Delta {V}}{V_{0}\cdot \Delta {T}}}={\frac {({\frac {l_{2}}{l_{0}}})^{3}-1}{\Delta {T}}}={\frac {({\frac {V_{2}}{V_{0}}})-1}{\Delta {T}}}={\frac {({\frac {v_{2}}{v_{0}}})-1}{\Delta {T}}}={\frac {({\frac {\rho _{0}}{\rho _{2}}})-1}{\Delta {T}}}

Die Dichtequotienten sind den Volumenquotienten jeweils indirekt proportional.

Zahlenwerte von Ausdehnungskoeffizienten

Feststoffe

Für Feststoffe werden in der Regel Längenausdehnungskoeffizienten verwendet. Da viele Materialien isotrop sind, können diese, wie oben beschrieben, auch zur Beschreibung der Volumenausdehnung verwendet werden. Für anisotrope Stoffe gelten verschiedene Ausdehnungskoeffizienten für die unterschiedlichen Raumrichtungen. Starke Anisotropie zeigen einige Verbundwerkstoffe, wie das Naturprodukt Holz: Die Ausdehnung quer zur Faser ist etwa zehnmal größer als längs der Faser.^[1] Ebenfalls stark anisotrop ist das Verhalten von Kohlenstofffasern, welche in Faserrichtung sogar einen leicht negativen Ausdehnungskoeffizienten aufweisen. Mittels CFK ergibt sich damit die Möglichkeit, Bauteile herzustellen, die in gewünschten Vorzugsrichtungen bei Temperaturänderungen keine oder nur minimale Größenänderungen aufweisen.

Die Legierung Invar wurde speziell entwickelt, um einen kleinen Ausdehnungskoeffizienten zu erhalten. Durch kleine Abweichungen der Zusammensetzung schwankt der Ausdehnungskoeffizient für diesen Stoff relativ stark.

Kunststoffe (Polymere) sind von der Struktur und den Eigenschaften sehr vielfältig und bestehen meist aus einem Gemisch verschiedener reiner Stoffe. Der Ausdehnungskoeffizient schwankt entsprechend mit der tatsächlichen Zusammensetzung, ist aber in der Regel deutlich höher als für Metalle, das heißt größer als 50 · 10⁻⁶ K⁻¹.^[2] Unterhalb ihres Glasübergangs haben Polymere, bzw. allgemein amorphe Feststoffe, in der Regel einen deutlich kleineren Ausdehnungskoeffizienten als oberhalb.

Reinmetalle (Elemente)

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Aluminium^[3]	023,1
Blei^[3]	028,9
Eisen^[3]	011,8
Nickel^[3]	013,0
Gold^[3]	014,2
Iridium^[4]	007
Kupfer^[3]	016,5
Lithium^[4]	058
Magnesium^[3]	024,8
Natrium^[4]	007,1
Platin^[3]	008,8
Silber^[3]	018,9
Tantal^[5]	006,6
Titan^[3]	008,6
Wolfram^[6]	004,5
Zink^[3]	030,2
Zinn^[3]	022,0

Das „Tabellenbuch Chemie“ (Autorenkollektiv Kaltofen, DDR, dicke Version), siehe Literaturempfehlung, nennt für viele weitere Metalle die Ausdehnungskoeffizienten.

Nichtmetalle und Halbmetalle (Elemente)

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Diamant^[3]	0001,18
Germanium^[3]	0005,8
Graphit^[2]	0001,9 bis 2,9
weißer Phosphor^[4]	0125
rhombischer Schwefel^[4]	0074
Silizium^[3]	0002,6

Metalllegierungen

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Aluminiumbronze^[4]	015 bis 16
Bronze^[7]	017,5
„Indilatans Extra“ (Krupp) (36Ni,XX) bei 12 bis 100 °C^[8]	0−0,04
Invar^[3]	000,55 bis 1,2
Konstantan (bei −191 bis 16 °C)^[8]	012,22
Messing^[7]	018,4 bis 19,3
Platin-Iridium^[4]	008,9
Stahl	011 bis 13

Baustoffe

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Beton	012
Holz (Eiche)^[9]	008
Klinker (Hartbrandziegel)^[10]^[11]	002,8 bis 4,8
Ziegelstein^[9]	005

Kunststoffe

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Weichgummi^[11]	0017 bis 28
Hartgummi^[11]	0080
Polyamid (PA)^[12]	0060 bis 150
Polycarbonat (PC)^[12]	0060 bis 70
Polyethylen (HD-PE)^[12]	0150 bis 200
Polypropylen (PP)^[13]	0100 bis 200
Polyoxymethylen (POM)^[12]	0070 bis 130
Polytetrafluorethylen (PTFE)^[12]	0100 bis 160
Polyvinylchlorid (Hart-PVC)^[12]	0070 bis 100
Polymethylmethacrylat (PMMA, Plexiglas)^[12]	0075 bis 80

Glas und Keramik

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Borosilikatglas^[14]	003,3
Deutsches Einschmelzglas (für Verbindungen mit Platin oder Invar)^[4]	009,0
Duranglas/Pyrexglas^[4]	003,6
Emaille (Emaillebeschichtungen)^[12]	008,0 bis 9,5
Fensterglas^[9]	010
Jenaer Geräteglas „Nr.20“^[4]	004,8
Porzellan, Berliner^[4]	004 bis 6
Porzellan, Meißner^[4]	003 bis 5
Quarzglas (Siliziumdioxid; 0 … 600 °C)^[15]	000,54
Technische Keramik^[16]	002 bis 13
Zerodur (Glaskeramik)^[17]	000 ± 0,007

Zu weiteren Substanzen, aus denen keramische Produkte (Werkstücke) gefertigt werden, siehe „Verbindungen und Chemikalien“.

Chemische Verbindungen

Längenausdehnungskoeffizient α bei 20 °C
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Aluminiumoxid, kristallin (Korund)^[7]	005,6 bis 7,0
Eis (−5 °C bis 0 °C)^[18]^[19]	051 bis 71
Glimmer (Magnesiumsilikat)^[7]	013,5
Magnesiumoxid^[4]	013,1
Siliziumdioxid (Quarz)^[20]	012 bis 16

Temperaturabhängigkeit für Feststoffe

Im Chemieanlagenbau werden oft mittlere Ausdehnungskoeffizienten herangezogen für den betrachteten Temperaturbereich, in dem eine Anlage arbeiten soll. Zahlenwerte von Ausdehnungskoeffizienten bei erhöhten Temperaturen sind aber in populärwissenschaftlicher Literatur schwer zu finden. Dietzel^[21] nennt aber für einige Behältermaterialien mittlere Ausdehnungskoeffizienten für zwei Temperaturbereiche (0 bis 100 °C und 0 bis 200 °C), Zitat (Tabelle):

Längenausdehnungskoeffizient α
Bezeichnung	α in 10⁻⁶ K⁻¹
Bezeichnung	0 bis 100 °C	0 bis 200 °C
Aluminium (rein)	023,9	024,6
Grauguß	010,4	011,1
technisches Glas	006,0	006,5
Messing	018,3	019,3
Stahl (bis 0,5 %C)	011,0	012,0

Diese Werte zeigen den Anstieg des mittleren Ausdehnungskoeffizienten in K⁻¹ für Feststoffe mit ansteigender Temperatur. Zwischen den Mittelwerten der Temperaturen (50 °C und 100 °C) beider Temperaturbereiche liegen 50 K Temperaturdifferenz.

Flüssigkeiten

Für Flüssigkeiten kann der Raumausdehnungskoeffizient angegeben werden. Sie dehnen sich isotrop, also in alle Richtungen gleichermaßen aus. Ihre Form wird durch das sie beinhaltende Gefäß vorgegeben, weshalb es sich nicht anbietet, den Längenausdehnungskoeffizienten für sie zu bestimmen, obwohl er formal berechnet werden kann.

Flüssigkeiten haben in der Regel einen deutlich größeren Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe. Deshalb werden Angaben für sie oft in Tausendstel pro Kelvin gemacht, anstelle von Millionstel pro Kelvin für Feststoffe. In den Tabellen dieses Abschnitts sind die Einheiten dementsprechend gewählt.

Anorganische Flüssigkeiten, Elemente und flüssige Metalle/Metalllegierungen

Raumausdehnungskoeffizient γ bei 20 °C
Bezeichnung	γ in 10⁻³ K⁻¹
Brom^[4]^[8]	01,11 oder 1,13
Galinstan (eutektische Thermometerflüssigkeit)	00,126
NaK (eutektische Legierung)	00,16
Quecksilber^[3]	00,1811
Salpetersäure (100%ige)^[8]	01,24
Salzsäure^[12]	00,30
Schwefelkohlenstoff^[8]	01,18
Schwefelsäure (ca. 99%ig)^[8]	00,57
Wasser bei 0 °C	−0,068
Wasser bei ca. 20 °C	00,2064
Wasser bei 100 °C	00,782

Organische Flüssigkeiten

Raumausdehnungskoeffizient γ bei 20 °C
Bezeichnung	γ in 10⁻³ K⁻¹	chemische Gruppe
Benzin (bei 0 °C)^[9]	01,0	Paraffine
n-Heptan^[4]	01,09	Paraffine
Heizöl/Dieselkraftstoff^[12]	00,96	Paraffine
n-Hexan^[4]	01,35	Paraffine
Mineralöl, Hydrauliköl	00,7	Paraffine
Paraffinöl^[7]	00,764	Paraffine
n-Pentan^[22]	01,6	Paraffine
Petroleum^[7]^[9]	00,9 bis 1	Paraffine
Schmieröl^[7]	00,6 bis 0,7	Paraffine
Chloroform^[3]	01,21	halogeniertes Paraffin
Tetrachlormethan^[3]	01,21	halogeniertes Paraffin
Methanol^[3]	01,49	einwertige Alkohole
Ethanol (vulgo Alkohol)^[3]	01,10	einwertige Alkohole
Glycerin^[3]	00,520	dreiwertige Alkohole
Essigsäure^[3]	01,08	Paraffinsäuren
Diethylether^[22]	01,62	Ether
Aceton^[3]	01,46	Ketone
Olivenöl^[7]	00,72	Fettsäureester
Benzol^[3]	01,14	Aromatische Kohlenwasserstoffe
Terpentinöl^[7]	01	Pinene, Terpene
Toluol^[22]	01,11	Aromatische Kohlenwasserstoffe

Gase

Gase unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunktes verhalten sich näherungsweise wie ein ideales Gas. Dieses dehnt sich proportional zur absoluten Temperatur aus. Dieser einfache lineare Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur resultiert in einem sich stark mit der Temperatur ändernden Ausdehnungskoeffizienten $\gamma$ , der umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur ist^[23]:

\gamma _{\text{Realgas}}^{(T_{\text{abs.}})}\sim {\frac {1}{T_{\text{abs.}}}}

und für das Idealgas gilt:

\gamma _{\text{Idealgas}}^{(T_{\text{abs.}})}={\frac {1}{T_{\text{abs.}}}}

Der Ausdehnungskoeffizient des Idealgases bei 0 °C (Bezugstemperatur) ist daher:

\gamma _{\text{Idealgas}}^{\text{(0 °C)}}={\frac {1}{\text{273,15 K}}}\approx 0{,}003661\,{\text{K}}^{-1}

Der Ausdehnungskoeffizient für ideale Gase bei 20 °C ist 1 / (293,15 K) ≈ 3,411 · 10⁻³ K⁻¹. Allgemein kann der Ausdehnungskoeffizient durch die thermische Zustandsgleichung idealer Gase als γ(T) oder durch die thermische Zustandsgleichung realer Gase als γ(T,p) berechnet werden.

Für das ideale Gas (bei niedrigem Druck) gilt nach der Idealgasgleichung für isobare (thermische) Ausdehnung:

{\frac {V_{0}}{V_{2}}}={\frac {T_{0,{\text{abs.}}}}{T_{2,{\text{abs.}}}}}

Die Temperaturen müssen als absolute Temperaturen in [Kelvin] eingesetzt werden. Für Temperaturen, die sich um eine feste Temperaturdifferenz, beispielsweise um 1 K, unterscheiden, strebt das Volumenverhältnis für immer höhere Temperaturen gegen den Wert 1. Der Ausdehnungskoeffizient strebt für immer höhere Temperaturen daher gegen Null. Er sinkt also für ideale Gase mit steigender Temperatur ab.

Vergleich der isobaren (differentiellen) Ausdehnungskoeffizienten von Wasser und Wasserdampf

Fratscher und Picht^[24] nennen für siedendes Wasser und den im Gleichgewicht stehenden Sattdampf (100 % Dampf, 0 % flüssiges Wasser) für Temperaturen von 0,01 °C bis 374,15 °C (kritische Temperatur von Wasser) die Ausdehnungskoeffizienten in 10 °C-Schritten. Der zugehörige Systemdruck ist der jeweilige Dampfdruck von Wasser. Einige der Werte werden hier beispielhaft wiedergegeben:

Temperatur in °C	Dampfdruck in MPa	$\gamma _{\text{Wasser}}^{(T)}$ in K⁻¹	$\gamma _{\text{Wasserdampf}}^{(T)}$ (Sattdampf) in K⁻¹	Hinweise
000,01	00,0006112	−0,0000855	0,003669	Dichteanomalie bis 4 °C
010	00,0012271	00,0000821	0,003544
020	00,0023368	00,0002066	0,003431
030	00,0042417	00,0003056	0,003327
040	00,0073749	00,0003890	0,003233
050	00,012335	00,0004624	0,003150
060	00,019919	00,0005288	0,003076
070	00,031161	00,0005900	0,003012
080	00,047359	00,0006473	0,002958
090	00,070108	00,0007019	0,002915
100	00,101325	00,0007547	0,002882
150	00,47597	00,001024	0,002897
200	01,5551	00,001372	0,003291
250	03,9776	00,001955	0,004321
300	08,5917	00,003293	0,007117
350	16,537	00,01039	0,02175
360	18,674	00,01928	0,03899
370	21,053	00,09818	0,1709
374,15 (krit. Temp.)	22,12 (krit. Druck)	>0,1709 (Originalliteratur nennt „∞“, ^*)		kritischer Punkt

Anmerkungen:

^*

Real kann der Ausdehnungskoeffizient am kritischen Punkt (und darüber) nicht unendlich werden, er muss endlich große Werte haben, da andernfalls das Medium sich bis auf Dichte Null (unendliches Volumen) ausdehnen würde und dazu bei den jeweiligen konstanten Systembedingungen, Druck und Temperatur, dann unendlich viel isobare Verschiebearbeit geleistet werden müsste.

Kurz vor Erreichen des kritischen Punktes nehmen die Ausdehnungskoeffizienten von Wasser und Wasserdampf stark zu. Am kritischen Punkt werden Flüssigkeit und Dampf eins bzw. identisch. Es gibt daher dann nur noch einen Ausdehnungskoeffizienten. Im Vergleich zu 370 °C muss dessen Wert aber größer sein, da das Volumen nochmals überproportional zugenommen hat.

Konzentrationsabhängige Ausdehnungskoeffizienten wässriger Lösungen

Bei konstanter Temperatur zeigen wässrige Lösungen einen mit der Konzentration des gelösten Stoffes meist ansteigenden Ausdehnungskoeffizienten.

Bierwerth^[23] nennt als Beispiele Natriumchloridlösung, Kaliumchloridlösung und Kalziumchloridlösungen verschiedener Massenkonzentrationen. So haben beispielsweise (Zitat) Kaliumchloridlösungen der Massengehalte 4/10/20 % Ausdehnungskoeffizienten von 0,00025/0,00031/0,00041 bei jeweils 20 °C. Aus den genannten Beispielen lässt sich schlussfolgern, dass bei diesen wässrigen Salzlösungen der Zahlenwert des Ausdehnungskoeffizienten um etwa 25 % (bei relativ niedrigen Konzentrationen) bis 50 % (bei höheren Konzentrationen) zunimmt jeweils bei einer Verdoppelung der Massenkonzentration der Lösung.

Berechnung des mittleren Raumausdehnungskoeffizienten aus Werten der Dichte oder spezifischen Volumina

Da die Änderung des Volumens von Feststoffen und Flüssigkeiten eine Änderung deren Dichte $\rho$ nach sich zieht, kann der mittlere statistische Volumenausdehnungskoeffizient $\gamma _{\text{mittl.}}$ auch aus dem Quotienten zweier Dichten für zwei Temperaturen berechnet werden^[23]:

{\frac {\rho _{0}}{\rho _{2}}}=1+\gamma _{\text{mittl.}}\cdot (T_{2}-T_{0})

mit

T_{2}>T_{0}

.

Der mittlere Raumausdehnungskoeffizient zwischen den gewählten Temperaturen ergibt sich also zu:

\gamma _{\text{mittl.}}={\frac {({\frac {\rho _{0}}{\rho _{2}}})-1}{(T_{2}-T_{0})}}

.

Alternativ können auch Werte der massenspezifischen Volumina oder der Molvolumen, herangezogen werden:

\gamma _{\text{mittl.}}={\frac {({\frac {v_{2}}{v_{0}}})-1}{(T_{2}-T_{0})}}

.

Die spezifischen Volumina $v$ sind den Dichten entgegengesetzt proportional.

Der mittlere statistische Raumausdehnungskoeffizient $\gamma _{\text{mittl.}}$ hat Vorteile in der Anwendung gegenüber dem auf eine Temperatur $T$ bezogenen „üblichen“ Volumenausdehnungskoeffizienten „ $\gamma ^{(T)}$ “. Der übliche Volumenausdehnungskoeffizient ist nur für eine Temperatur gültig. Dessen Wert steigt bei Flüssigkeiten mit steigender Temperatur meist an. Wegen der Dichteanomalie, u. a. von Wasser und flüssigem Ammoniak, haben diese Substanzen in engen Temperaturbereichen auch negative Ausdehnungskoeffizienten. Berechnet man also die Volumenänderung mit Hilfe des mittleren Volumenausdehnungskoeffizienten von Temperatur $T_{0}$ bis Temperatur $T_{2}$ , so erhält man einen korrekten Wert für das neue Volumen – oder die neue Dichte –, während die Berechnung mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten zu einer festen Temperatur einen „größeren“ Fehler aufweisen würde. Es ist auch möglich den Volumenausdehnungskoeffizienten für eine bestimmte Temperatur sehr genau zu berechnen mittels dieser Methode. Dazu zieht man die Dichtewerte für 1 K weniger und ein Kelvin mehr heran. Als Temperaturdifferenz wird 2 K eingesetzt. Für Wasser bei 4 °C erhält man so aus den Dichtewerten für 3 °C und 5 °C einen Volumenausdehnungskoeffizienten des Wertes 0. Dies ist korrekt, da Wasser bei 4 °C sein Dichtemaximum hat, dessen Dichte von 0 °C bis 4 °C steigt und ab 4 °C wieder absinkt. Folglich ist der Volumenausdehnungskoeffizient $\gamma ^{(T)}$ für Wasser bei 4 °C Null.

Zahlenwerte von Flüssigkeiten bei Luftdruck

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/cm³	$\Delta T$ in K	mittlere Temp. $T_{\text{mittl.}}$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
Wasser	000 / 1	0,999840 / 0,999899	01	000,5	−0,000059006	^[8]
	003 / 5	0,999964 / 0,999964	02	004	00
	000 / 20	0,999840 / 0,998203	20	010	00,0000820
	017 / 19	0,998773 / 0,998403	02	018	00,0001853
	019 / 21	0,998403 / 0,997991	02	020	00,0002064
	024 / 26	0,997295 / 0,996782	02	025	00,0002573
	020 / 100	0,998203 / 0,95835	80	060	00,0005198
	090 / 100	0,96532 / 0,95835	10	095	00,0007273
Quecksilber	−20 / −18	13,6446 / 13,6396	02	−19	00,0001833	^[8]
	0−2 / 2	13,6000 / 13,5901	04	000	00,00018212
	000 / 20	13,5951 / 13,5457	20	010	00,0001823
	016 / 20	13,5556 / 13,5457	04	018	00,00018271
	018 / 22	13,5507 / 13,5408	04	020	00,00018278
	024 / 26	13,5359 / 13,5310	02	025	00,00018107
	020 / 100	13,5457 / 13,3512	80	060	00,0001821
	090 / 100	13,3753 / 13,3512	10	095	00,0001805
	240 / 260	13,018 / 12,970	20	250	00,00018504
Propantriol (Glyzerin)	020 / 60	1,260 / 1,239	40	040	00,0004237	^[24]
	080 / 100	1,224 / 1,207	20	090	00,0007042
	140 / 160	1,167 / 1,143	20	150	00,001050
	180 / 200	1,117 / 1,090	20	190	00,001239
	220 / 240	1,059 / 1,025	20	230	00,001659
Silikonöl „Baysilone M10“ ®	−40 / 0	0,990 / 0,950	40	−20	00,00105	^[24]
	000 / 40	0,950 / 0,920	40	020	00,000815
	040 / 80	0,920 / 0,880	40	060	00,00114
	080 / 120	0,880 / 0,850	40	100	00,000882
	120 / 160	0,850 / 0,810	40	140	00,00123
	160 / 200	0,810 / 0,770	40	180	00,00130
	200 / 240	0,770 / 0,740	40	220	00,00101

Bei ca. 4 °C hat Wasser seine maximale Dichte von 0,999975 g/cm³ (Dichteanomalie) und der Volumenausdehnungskoeffizient ist hier Null.

Die berechneten Werte zeigen beispielsweise für eine Temperatursteigerung von 0 auf 20 °C eine Volumenzunahme um +0,164 % für Wasser und um +0,365 % für Quecksilber. Von 20 bis 100 °C steigen die Volumen um +4,16 % bei Wasser und um +1,46 % bei Quecksilber.

Wie man sieht, steigt der Volumenausdehnungskoeffizient von Flüssigkeiten mit steigender Temperatur fast immer nur an, es sei denn, die Substanz hat in einem engen Temperaturbereich eine Dichteanomalie, wie bei Wasser zwischen 0 und 4 °C vorliegend.

Zahlenwerte von siedenden Flüssigkeiten beim jeweiligen Dampfdruck (nicht isobar)

Bei jeder Temperatur hat eine Flüssigkeit einen anderen Dampfdruck, entsprechend ihrer Dampfdruckfunktion. Daher erfolgen hier temperaturbedingte Ausdehnung oder Kontraktion des Volumens nicht isobar.

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/cm³	$\Delta T$ in K	$(T_{0}\!+\!T_{2})/2$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
siedendes überhitztes Wasser	095 / 100	0,96172 / 0,95813	05	097,5	0,00074938	^[24]
	090 / 110	0,96516 / 0,95066	20	100	0,00076263
	120 / 130	0,94286 / 0,93458	10	125	0,00088596
	140 / 160	0,92584 / 0,90728	20	150	0,0010228
	190 / 200	0,87604 / 0,86468	10	195	0,0013138
	190 / 210	0,87604 / 0,85281	20	200	0,0013620
	200 / 210	0,86468 / 0,85281	10	205	0,0013919
	240 / 260	0,81360 / 0,78394	20	250	0,0018915
	290 / 300	0,73212 / 0,71220	10	295	0,0027970
	290 / 310	0,73212 / 0,69061	20	300	0,0030053
	300 / 310	0,71220 / 0,69061	10	305	0,0031262
	310 / 320	0,69061 / 0,66689	10	315	0,0035568
	320 / 330	0,66689 / 0,64045	10	325	0,0041283
	330 / 340	0,64045 / 0,61013	10	335	0,0049694
	340 / 350	0,61013 / 0,57448	10	345	0,0062056
	350 / 360	0,57448 / 0,52826	10	355	0,0087495
	360 / 370	0,52826 / 0,44823	10	365	0,017855
	370 / 374,15 (kritische Temp.)	0,44823 / 0,3262	4,15	372,075	0,09014

Zahlenwerte von siedenden Flüssiggasen beim jeweiligen Dampfdruck (nicht isobar)

Bei jeder Temperatur hat eine Flüssigkeit/ein Flüssiggas einen anderen Dampfdruck, entsprechend ihrer Dampfdruckfunktion. Daher erfolgen hier temperaturbedingte Ausdehnung oder Kontraktion des Volumens nicht isobar.

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/cm³	$\Delta T$ in K	mittlere Temperatur $T_{\text{mittl.}}$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
flüssiges Kohlendioxid, siedend	−50 / −40	1,1526 / 1,1136	10	−45	0,0035022	^[24]
	−30 / −20	1,0727 / 1,0293	10	−25	0,0042165
	0 / 2	0,9285 / 0,9168	2	1	0,006381
	18 / 22	0,7979 / 0,7548	4	20	0,01428
	28 / 30	0,6568 / 0,5929	2	29	0,05389
	30/ 31,05 (kritische Temperatur)	0,5929 / 0,4680	1,05	30,525	0,2542 !
flüssiges Propan, siedend	−50 / −40	0,5917 / 0,5858	10	−25	0,001007	^[24]
	−30 / −20	0,5679 / 0,5559	10	−45	0,002159
	−5 / 5	0,5365 / 0,5233	10	0	0,002522
	20 / 30	0,5020 / 0,4866	10	25	0,003165
	40 / 50	0,4684 / 0,4500	10	45	0,004089
flüssiges Ethen (Ethylen), siedend	−40 / -30	0,4621 / 0,4403	10	−35	0,004951	^[24]
	−30 / −20	0,4403 / 0,4153	10	−25	0,006020
	−20 / −10	0,4153 / 0,3851	10	−15	0,007842
	−10 / 0	0,3851 / 0,3471	10	−5	0,01095
	−5 / 5	0,3671 / 0,3186	10	0	0,01522
	0 / 2	0,3471 / 0,3378	2	1	0,01377
	0 / 4	0,3471 / 0,3258	4	2	0,01634
	4 / 6	0,3258 / 0,3102	2	5	0,02515
	7 / 8	0,2995 / 0,2858	1	7,5	0,04794
	7 / 9	0,2995 / 0,2646	2	8	0,06595
	8 / 9	0,2858 / 0,2646	1	8,5	0,08012
	8 / 9,9 (kritische Temperatur)	0,2858 / 0,2111	1,9	8,95	0,1862
	9 / 9,5	0,2646 / 0,2483	0,5	9,25	0,1313
	9 / 9,9 (kritische Temperatur)	0,2646 / 0,2111	0,9	9,45	0,2816
	9,5 / 9,9 (kritische Temperatur)	0,2483 / 0,2111	0,4	9,7	0,4405 !
flüssiges Ammoniak, siedend	−70 / −68	0,72527 / 0,72036	2	−69	+0,003408	^[24]
	−68 / −66	0,72036 / 0,72067	2	−67	−0,000215
	−66 / −64	0,72067 / 0,71839	2	−65	+0,001587
	−64 / −62	0,71839 / 0,71608	2	−63	+0,001613
	−50 / −48	0,70200 / 0,69964	2	−49	+0,001687
	−30 / −28	0,67764 / 0,67517	2	−29	+0,001829
	−28 / −26	0,67517 / 0,67263	2	−27	+0,001888
	−26 / −24	0,67263 / 0,67463	2	−25	−0,001482
	−24 / −22	0,67463 / 0,68587	2	−23	−0,008194
	−22 / −20	0,68587 / 0,66503	2	−21	+0,015668
	−2 / 0	0,64127 / 0,63857	2	−1	+0,002114
	−2 / 2	0,64127 / 0,63585	4	0	+0,002131
	0 / 2	0,63857 / 0,63585	2	1	+0,002139
	18 / 20	0,61320 / 0,61028	2	19	+0,002392
	18 / 22	0,61320 / 0,60731	4	20	+0,002425
	20 / 22	0,61028 / 0,60731	2	21	+0,002445
	24 / 26	0,60438 / 0,60132	2	25	+0,002544
	48 / 50	0,56628 / 0,56306	2	49	+0,002859

Hinweis: Dichtewerte und Ausdehnungskoeffizienten des flüssigen Ammoniaks weisen zwei Dichteanomalien auf.

Zahlenwerte von Metallschmelzen

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/cm³	$\Delta T$ in K	mittlere Temperatur $T_{\text{mittl.}}$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
Natrium-Kalium-Legierung (hier: 25%Na/75%K, Massenprozente)	20 / 100	0,872 / 0,852	80	60	0,000293	^[24]
	100 / 200	0,852 / 0,828	100	150	0,000290
	200 / 300	0,828 / 0,803	100	250	0,000311
	300 / 500	0,803 / 0,753	200	400	0,000332
	500 / 600	0,753 / 0,729	100	550	0,000329
	600 / 700	0,729 / 0,704	100	650	0,000355
Lithium-Schmelze	200 / 300	0,511 / 0,505	100	250	−0,00701	^[24]
	300 / 400	0,505 / 0,495	100	350	+0,000202
	400 / 600	0,495 / 0,474	200	500	+0,000222
	600 / 700	0,474 / 0,465	100	650	+0,000194
Zinn-Schmelze	240 / 300	6,985 / 6,940	60	270	0,0001081	^[24]
	300 / 400	6,940 / 6,865	100	350	0,0001093
	400 / 500	6,865 / 6,790	100	450	0,0001105
	500 / 600	6,790 / 6,720	100	550	0,0001042
	600 / 700	6,720 / 6,640	100	650	0,0001205
Blei-Schmelze	400 / 500	10,582 / 10,476	100	450	0,00010118	^[24]
	500 / 600	10,476 / 10,360	100	550	0,00011197
	600 / 700	10,360 / 10,242	100	650	0,00011521
	700 / 800	10,242 / 10,125	100	750	0,00011556

Zahlenwerte von Gasen (isobar)

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/l	$\Delta T$ in K	mittlere Temperatur $T_{\text{mittl.}}$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
trockene Luft, bei 1 bar	−20 / 0	1,3765 / 1,2754	20	−10	0,0039635	^[24]
	0 / 20	1,2754 / 1,1881	20	10	0,0036739
	20 / 40	1,1881 / 1,1120	20	30	0,0034218
	40 / 60	1,1120 / 1,0452	20	50	0,0031956
	60 / 80	1,0452 / 0,9859	20	70	0,0030074
	80 / 100	0,9859 / 0,9329	20	90	0,0028406
	140 / 160	0,8425 / 0,8036	20	150	0,0024204
	180 / 200	0,7681 / 0,7356	20	190	0,0022091
	200 / 300	0,7356 / 0,6072	100	250	0,0021146
	300 / 400	0,6072 / 0,5170	100	350	0,0017447
	400 / 500	0,5170 / 0,4502	100	450	0,0014838
	500 / 600	0,4502 / 0,3986	100	550	0,0012945
	600 / 700	0,3986 / 0,3577	100	650	0,0011434
	700 / 800	0,3577 / 0,3243	100	750	0,0010300
	800 / 900	0,3243 / 0,2967	100	850	0,0009302
	900 / 1000	0,2967 / 0,2734	100	950	0,0008522
trockene Luft, bei 10 bar.	−25 / 0	14,16 / 12,82	25	−12,5	0,004181	^[24]
	0 / 25	12,82 / 11,71	25	12,5	0,003792
	25 / 50	11,71 / 10,79	25	37,5	0,003411
	50 / 100	10,79 / 9,321	50	75	0,003152
	100 / 200	9,321 / 7,336	100	150	0,002706
	200 / 300	7,336 / 6,053	100	250	0,002120
	300 / 400	6,053 / 5,153	100	350	0,001747
	400 / 500	5,153 / 4,487	100	450	0,001484
trockene Luft, bei 100 bar.	−25 / 0	149,5 / 131,4	25	−12,5	0,005510	^[24]
	0 / 25	131,4 / 117,8	25	12,5	0,004618
	25 / 50	117,8 / 107,1	25	37,5	0,003996
	50 / 100	107,1 / 91,13	50	75	0,003505
	100 / 200	91,13 / 70,92	100	150	0,002850
	200 / 300	70,92 / 58,37	100	250	0,002150
	300 / 400	58,37 / 49,71	100	350	0,001742
	400 / 500	49,71 / 43,55	100	450	0,001414
gesättigt feuchte Luft, bei 100 kPa	0 / 2	1,2731 / 1,2634	2	1	0,003839	^[24]
	8 / 12	1,2347 / 1,2159	4	10	0,0038654
	16 / 20	1,1971 / 1,1785	4	18	0,003946
	18 / 22	1,1878 / 1,1691	4	20	0,003999
	24 / 26	1,1597 / 1,1503	2	25	0,004086
	28 / 32	1,1408 / 1,1216	4	30	0,004280
	38 / 42	1,0921 / 1,0717	4	40	0,004759
	48 / 50	1,0395 / 1,0282	2	49	0,005495
	55 / 65	0,9989 / 0,9332	10	60	0,007040
	65 / 75	0,9332 / 0,8552	10	70	0,009121
	75 / 85	0,8552 / 0,7605	10	80	0,01245
	85 / 95	0,7605 / 0,6442	10	90	0,01805

Hinweis: Der Sättigungsgrad 100 % der feuchten Luft bleibt bei Erwärmung nur konstant erhalten, wenn die Luft beispielsweise in einer Gasbürette über der Sperrflüssigkeit Wasser eingeschlossen ist, während die Temperatur erhöht wird.

Zahlenwerte von überhitztem Wasserdampf (isobar)

Substanz	$T_{0}$ / $T_{2}$ in °C	$\rho _{0}$ / $\rho _{2}$ in g/l	$\Delta T$ in K	mittlere Temperatur $T_{\text{mittl.}}$ in °C	$\gamma _{\text{mittl.}}$ in K⁻¹	Quellen
überhitzter Wasserdampf bei 0,6 bar	100 / 200	0,3514 / 0,2756	100	150	0,002750	^[21]
	200 / 300	0,2756 / 0,2272	100	250	0,002130
	300 / 400	0,2272 / 0,1933	100	350	0,0011754
	400 / 500	0,1933 / 0,1682	100	450	0,001492
überhitzter Wasserdampf bei 1 bar	100 / 200	0,5899 / 0,4604	100	150	0,002813	^[21]
	200 / 300	0,4604 / 0,3791	100	250	0,002145
	300 / 400	0,3791 / 0,3224	100	350	0,001759
	400 / 500	0,3224 / 0,2805	100	450	0,001494
überhitzter Wasserdampf bei 6 bar	200 / 300	2,839 / 2,304	100	250	0,002322	^[21]
	300 / 400	2,304 / 1,947	100	350	0,001834
	400 / 500	1,947 / 1,690	100	450	0,001521
überhitzter Wasserdampf bei 10 bar	200 / 300	4,850 / 3,879	100	250	0,002503	^[21]
	300 / 400	3,879 / 3,264	100	350	0,001884
	400 / 500	3,264 / 2,826	100	450	0,001550

Zusammenfassung

Bei Feststoffen und Flüssigkeiten steigt der Ausdehnungskoeffizient (positiver Wert) mit steigender Temperatur fast ausnahmslos an. Einige Stoffe, Flüssigkeiten und Feststoffe, weisen Dichteanomalien in engen Temperaturbereichen auf und haben dann in diesen Bereichen auch negative Ausdehnungskoeffizienten.
Gase haben positive Ausdehnungskoeffizienten, die aber mit steigender Temperatur in ihrem Wert abnehmen. (Messbedingung ist konstanter Druck.)
Flüssigkeiten zeigen kurz vor Erreichen der kritischen Temperatur^[25] des Stoffs eine starke exponentielle Zunahme der Ausdehnungskoeffizienten. Die berechneten Beispiele von flüssigem Ethen und Kohlendioxid zeigen dies deutlich. Laut Fratscher/Picht^[24] soll auch der Ausdehnungskoeffizient des mit der Flüssigkeit im Gleichgewicht stehenden Dampfes kurz vor Erreichen der kritischen Temperatur der Substanz eine starke exponentielle Zunahme zeigen. Fratscher nennt für den kritischen Punkt für Wasser als Wert der Ausdehnungskoeffizienten „unendlich“, doch dies kann nicht sein. Es müssen endliche Werte bestimmbar sein, da ansonsten eine unendlich hohe Energie (isobare Verschiebearbeit) zur Ausdehnung des Volumens aufgewendet werden müsste.

Der überkritische Zustand ist weder Flüssigkeit noch Dampf. Daher müssen die Ausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeit und Dampf sich vor Erreichen des kritischen Punktes einander annähern, um schließlich am kritischen Punkt identisch zu werden.

Plötzliche Änderungen der Dichte/des Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen und Flüssigkeiten verweisen auf eine Änderung der Molekül- oder Kristallstruktur bei den jeweiligen Bedingungen Druck und Temperatur.

Einfluss der Ausdehnungskoeffizienten auf den Füllgrad eines Behälters bei Temperaturänderungen

Der Füllgrad $\varphi$ eines Behälters (in der Verfahrenstechnik) ist definiert als:

\varphi ={\frac {V_{\text{F}}}{V_{\text{B}}}}

.

Sind die Zahlenwerte der Volumenausdehnungskoeffizienten $\gamma$ der im Behälter befindlichen Flüssigkeit $\gamma _{\text{F}}$ und der berechenbare Volumenausdehnungskoeffizient $\gamma _{\text{B}}=3\cdot \alpha _{\text{B}}$ des Behältermaterials (Wandmaterial) nicht gleich groß, so führt jede Änderung der Temperatur des Behälters und seines Inhaltes (Flüssigkeit) zu einer Änderung des Behälterfüllgrades, da sich Flüssigkeit und Behältermaterial unterschiedlich stark ausdehnen oder zusammenziehen, wenn die Temperatur steigt oder sinkt. Bierwerth nennt folgende Formel für die Änderung des prozentualen Füllgrades $\varphi$ :^[26]

\Delta \varphi ={\frac {{V_{\text{F}}}^{0}\cdot \Delta {T}\cdot (\gamma _{\text{F}}-3\cdot \alpha _{\text{B}})}{{V_{B}}^{0}\cdot (1+3\cdot \alpha _{\text{B}}\cdot \Delta {T})}}\cdot 100\,\%

.

Flüssigkeitsvolumen $V_{\text{F}}$ , Behältervolumen $V_{B}$ . Die mit Indice 0 gekennzeichneten Volumina sind die Werte vor der Temperaturänderung (Anfangswert). Längenausdehnungskoeffizient $\alpha _{B}$ des Behältermaterials. Volumenausdehnungskoeffizient $\gamma _{\text{F}}$ der im Behälter befindlichen Flüssigkeit. Die verwendeten Ausdehnungskoeffizienten sind die mittleren Ausdehnungskoeffizienten im jeweiligen Temperaturbereich.

Siehe auch

Literatur

Gerhard Ondracek: Werkstoffkunde. Leitfaden für Studium und Praxis. 2., überarbeitete Aufl. Expert-Verlag, Sindelfingen 1986, ISBN 3-88508-966-1.
Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik. Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Volumenausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten und Feststoffen, S. 76; Methode der Bestimmung des differentiellen Ausdehnungskoeffizienten zu einer Temperatur; Ausdehnungskoeffizienten vieler Behälterwerkstoffe der chemischen Industrie: Stähle, Legierungen, Leichtmetalle, Gläsern, Keramiken und Kunststoffen, S. 248–256.
U. Hübschmann, E. Links, E. Hitzel: Tabellen zur Chemie und zur Analytik in Ausbildung und Beruf. Verlag Handwerk und Technik, 1998, ISBN 3-582-01234-4.
Fritz Dietzel: Technische Wärmelehre. Vogel Verlag Würzburg, 1990, ISBN 3-8023-0089-0, Anhang Tafel 2 mittlere Ausdehnungskoeffizienten von Aluminium, Grauguß, Glas, Messing und Stahl (0,5%C) für zwei verschiedene Temperaturbereiche: 0–100 °C und 0–200 °C, S. 159.
Autorenkollektiv (Rolf Kaltofen et al.): Tabellenbuch Chemie. (dicke Version) 5. Aufl. VEB Verlag für Grundstoffindustrie Leipzig, Leipzig 1975, Ausdehnungskoeffizienten von Metallen, Elementen und Legierungen, von Nichtmetallen, organischen Flüssigkeiten, verschiedenen Gläsern und Keramiken, S. 389–390.
Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, isobare Ausdehnungskoeffizienten von Wasser und Wasserdampf, S. 170–171; Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen (Werkstoffen), anorganischer und organischer Flüssigkeiten, S. 31.

Einzelnachweise

↑ The coefficients of thermal expansion of wood and wood products. (PDF; 5,1 MB) Abgerufen am 10. Mai 2012.
↑ ^a ^b Werner Martienssen, Hans Warlimont (Hrsg.): Springer Handbook of Condensed Matter and Material Data. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-44376-2.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^v ^w ^x ^y William M. Haynes (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 92. Auflage. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 2011, ISBN 978-1-4398-5511-9.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Autorenkollektiv (u. a.: Rolf Kaltofen): Tabellenbuch Chemie (dicke Version). 5. Auflage, VEB Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig, 1975, Ausdehnungskoeffizienten von Metallen, Elementen und Legierungen, von Nichtmetallen, organischen Flüssigkeiten, verschiedenen Gläsern und Keramiken, S. 389–390.
↑ Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik. Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Tab. Ausdehnungskoeffizienten vieler Behälterwerkstoffe der chemischen Industrie: Stähle, Legierungen, Leichtmetalle, Gläsern, Keramiken und Kunststoffen. S. 248–256.
↑ Robert C. Weast (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 57. Auflage. CRC Press, Cleveland, Ohio, 1976, ISBN 0-87819-456-8.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, Tab.2.3 Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen (Werkstoffen), anorganischer und organischer Flüssigkeiten, S. 31.
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↑ ^a ^b ^c ^d ^e Paetec GmbH: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I u. II. Berlin 1996, Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen und Flüssigkeiten.
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↑ ^a ^b ^c Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, Tab. 2.3 Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen (Werkstoffen), anorganischer und organischer Flüssigkeiten, S. 31.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik, Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Volumenausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten und Feststoffen, S. 76; Methode der Bestimmung des differentiellen Ausdehnungskoeffizienten zu einer Temperatur; Ausdehnungskoeffizienten vieler Behälterwerkstoffe der chemischen Industrie: Stähle, Legierungen, Leichtmetalle, Gläsern, Keramiken und Kunststoffen S. 248–256.
↑ Wolfgang Kaiser: Kunststoffchemie für Ingenieure: Von der Synthese bis zur Anwendung. 2. Auflage. Carl Hanser, 2007, ISBN 978-3-446-41325-2, S. 228.
↑ Technical Glasses Data Sheet. (PDF) schott.com, archiviert vom Original am 11. Dezember 2015; abgerufen am 29. Mai 2018 (englisch).
↑ archive.org: Produktinformationsseite des Herstellers Heraeus-Quarzglas., heraeus-quarzglas.de, Archivversion vom 19. April 2009.
↑ Keramverband Thermische Eigenschaften. Abgerufen am 29. Mai 2018.
↑ ZERODUR® Glaskeramik mit extrem niedriger thermischer Ausdehnung. Schott AG, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 27. März 2019; abgerufen am 3. Februar 2019 (Der angegebene Wert gilt für Zerodur der Dehnungsklasse 0 EXTREME.).
↑ Ausdehnungskoeffizient von Eis für −5 °C bis 0 °C: in U. Hübschmann, E. Links, E. Hitzel: Tabellen zur Chemie. ISBN 978-3-582-01234-0. wird der Volumenausdehnungskoeffizient mit 0,000213 benannt, der umgerechnet einen Längenausdehnungskoeffizienten von 0,000071 ergibt.
↑ Paetec GmbH, Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I u. II, Berlin 1996, Ausdehnungskoeffizient von Eis bei 0 °C, dessen Längenausdehnungskoeffizient wird mit 0,000051 genannt
↑ J. A. Kosinski, J. G. Gualtieri, A. Ballato: Thermal expansion of alpha quartz. In: Proceedings of the 45th Annual Symposium on Frequency Control 1991. IEEE, Los Angeles 1991, ISBN 0-87942-658-6, S. 22, doi:10.1109/freq.1991.145883 (amerikanisches Englisch).
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↑ ^a ^b ^c archive.org, b-tu.de, Brandenburgische Technische Universität Cottbus, Senftenberg, Physikalisches Praktikum W01 (Thermische Ausdehnung), Archivversion vom 13. Jänner 2019.
↑ ^a ^b ^c Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik. Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Längen- und Volumenänderung, S. 61 ff.
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↑ Anm. Bei Erreichen der kritischen Temperatur von niedrigeren Temperaturen her kommend.
↑ Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik, Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Längen- und Volumenänderung, Änderung des Behälterfüllgrades in %, S. 75.

[wooddata-1] The coefficients of thermal expansion of wood and wood products. (PDF; 5,1 MB) Abgerufen am 10. Mai 2012.

[springer-2] Werner Martienssen, Hans Warlimont (Hrsg.): Springer Handbook of Condensed Matter and Material Data. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-44376-2.

[crc-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^v ^w ^x ^y William M. Haynes (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 92. Auflage. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 2011, ISBN 978-1-4398-5511-9.

[Tabellenbuch_Chemie-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Autorenkollektiv (u. a.: Rolf Kaltofen): Tabellenbuch Chemie (dicke Version). 5. Auflage, VEB Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig, 1975, Ausdehnungskoeffizienten von Metallen, Elementen und Legierungen, von Nichtmetallen, organischen Flüssigkeiten, verschiedenen Gläsern und Keramiken, S. 389–390.

[5] Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik. Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Tab. Ausdehnungskoeffizienten vieler Behälterwerkstoffe der chemischen Industrie: Stähle, Legierungen, Leichtmetalle, Gläsern, Keramiken und Kunststoffen. S. 248–256.

[crc57-6] Robert C. Weast (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 57. Auflage. CRC Press, Cleveland, Ohio, 1976, ISBN 0-87819-456-8.

[fratschner-7] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, Tab.2.3 Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen (Werkstoffen), anorganischer und organischer Flüssigkeiten, S. 31.

[hübschmann35-8] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h U. Hübschmann, E. Links, E. Hitzel: Tabellen zur Chemie und zur Analytik in Ausbildung und Beruf. Verlag Handwerk und Technik, 1998, ISBN 3-582-01234-4 (S. 35–36: Ausdehnungskoeffizienten von Metalllegierungen (Werkstoffen), Gläsern und anorganischer Chemikalien).

[Paetec_GmbH_1996-9] Paetec GmbH: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I u. II. Berlin 1996, Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen und Flüssigkeiten.

[10] Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, isobare Ausdehnungskoeffizienten von Wasser und Wasserdampf, S. 170–171.

[fratschnerTab.2.3-11] Wolfgang Fratscher, Hans-Peter Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1979 & Stuttgart 1993, ISBN 3-342-00633-1, Tab. 2.3 Ausdehnungskoeffizienten von Feststoffen (Werkstoffen), anorganischer und organischer Flüssigkeiten, S. 31.

[bierwerth-12] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik, Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Volumenausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten und Feststoffen, S. 76; Methode der Bestimmung des differentiellen Ausdehnungskoeffizienten zu einer Temperatur; Ausdehnungskoeffizienten vieler Behälterwerkstoffe der chemischen Industrie: Stähle, Legierungen, Leichtmetalle, Gläsern, Keramiken und Kunststoffen S. 248–256.

[13] Wolfgang Kaiser: Kunststoffchemie für Ingenieure: Von der Synthese bis zur Anwendung. 2. Auflage. Carl Hanser, 2007, ISBN 978-3-446-41325-2, S. 228.

[14] Technical Glasses Data Sheet. (PDF) schott.com, archiviert vom Original am 11. Dezember 2015; abgerufen am 29. Mai 2018 (englisch).

[15] rchive.org: Produktinformationsseite des Herstellers Heraeus-Quarzglas., heraeus-quarzglas.de, Archivversion vom 19. April 2009.

[16] Keramverband Thermische Eigenschaften. Abgerufen am 29. Mai 2018.

[17] ZERODUR® Glaskeramik mit extrem niedriger thermischer Ausdehnung. Schott AG, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 27. März 2019; abgerufen am 3. Februar 2019 (Der angegebene Wert gilt für Zerodur der Dehnungsklasse 0 EXTREME.).

[18] Ausdehnungskoeffizient von Eis für −5 °C bis 0 °C: in U. Hübschmann, E. Links, E. Hitzel: Tabellen zur Chemie. ISBN 978-3-582-01234-0. wird der Volumenausdehnungskoeffizient mit 0,000213 benannt, der umgerechnet einen Längenausdehnungskoeffizienten von 0,000071 ergibt.

[19] Paetec GmbH, Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I u. II, Berlin 1996, Ausdehnungskoeffizient von Eis bei 0 °C, dessen Längenausdehnungskoeffizient wird mit 0,000051 genannt

[20] J. A. Kosinski, J. G. Gualtieri, A. Ballato: Thermal expansion of alpha quartz. In: Proceedings of the 45th Annual Symposium on Frequency Control 1991. IEEE, Los Angeles 1991, ISBN 0-87942-658-6, S. 22, doi:10.1109/freq.1991.145883 (amerikanisches Englisch).

[Dietzel-21] Fritz Dietzel: Technische Wärmelehre. Vogel Verlag, Würzburg 1990, ISBN 3-8023-0089-0, S. 159 ff.

[btu-22] rchive.org, b-tu.de, Brandenburgische Technische Universität Cottbus, Senftenberg, Physikalisches Praktikum W01 (Thermische Ausdehnung), Archivversion vom 13. Jänner 2019.

[Bierwerth-23] Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik. Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Längen- und Volumenänderung, S. 61 ff.

[Fratzscher/Picht-24] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Fratzscher/Picht: Stoffdaten und Kennwerte der Verfahrenstechnik, Verlag für Grundstoffindustrie Leipzig, DDR 1979/BRD 1993, S. 99ff.

[25] Anm. Bei Erreichen der kritischen Temperatur von niedrigeren Temperaturen her kommend.

[26] Walther Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik, Europa-Lehrmittel KG, 2005, ISBN 3-8085-7085-7, Längen- und Volumenänderung, Änderung des Behälterfüllgrades in %, S. 75.

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