Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Es sei eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra von besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen . Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus vermittelt.

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist eine Basis von und die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

mit

eine Basis von .

• Insbesondere ist injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

für erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, trägt also keine induzierte Graduierung.

• Ist abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über .