Tarski-Gruppen, benannt nach Alfred Tarski, werden im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie untersucht, es handelt sich um unendliche Gruppen mit einer Bedingung an ihre Untergruppen. Manche Autoren sprechen auch von Tarski-Monstergruppen oder, nach ihrem Entdecker A. J. Olschanski, von Olschanski-Gruppen.^[1]

Eine Gruppe heißt Tarski-Gruppe, wenn gilt:

• ist unendlich,
• jede echte, nicht-triviale Untergruppe ist endlich von Primzahl-Ordnung.

Eine Gruppe heißt erweiterte Tarski-Gruppe, wenn es einen Normalteiler gibt, so dass gilt:

• Die Quotientengruppe ist eine Tarski-Gruppe,
• ist zyklisch von Primzahlpotenz-Ordnung > 1,
• für jede Untergruppe gilt oder .^[2]

Alfred Tarski hatte die Frage aufgeworfen, ob es unendliche Gruppen gibt, deren Untergruppenverband die Höhe 2 hat,^[3] das heißt wie nebenstehend aussieht. Die Existenz solcher Gruppen war lange unklar, schließlich zeigte Olschanski im Jahre 1979, dass es zu Primzahlen p-Gruppen dieser Art gibt.^[4] Damit waren gleichzeitig weitere Gegenbeispiele zum beschränkten Burnside-Problem gefunden, das die Frage stellt, ob endlich erzeugte Gruppen mit einem endlichen Gruppenexponenten schon endlich sein müssen. Da Tarski-Gruppen von zwei Elementen erzeugt sind (siehe unten), hat man mit ihnen weitere Gegenbeispiele der gewünschten Art. Ferner folgt, dass es zu und keine Tarski--Gruppen geben kann, denn sonst müssten die Burnside-Gruppen bzw. unendlich sein, was nicht der Fall ist.

Da je zwei verschiedene, echte Untergruppen und einer Tarski-Gruppe Primzahlordnung haben, muss ihr Durchschnitt trivial sein. Die von ihnen erzeugte Untergruppe muss mit der Gesamtgruppe übereinstimmen, da anderenfalls von Primzahlordnung wäre und und enthalten müsste, was zu führte. Daher bilden die echten, nicht-trivialen Untergruppen einer Tarski-Gruppe eine Antikette.

Die Struktur des Untergruppenverbandes von Tarski-Gruppen und erweiterten Tarski-Gruppen sieht damit wie in nebenstehenden Skizzen aus, insbesondere handelt es sich um M-Gruppen.

Da Tarski-Gruppen nach Obigem von zwei Elementen erzeugt sind und daher erweiterte Tarski-Gruppen endlich erzeugt sind, können sie nicht lokalendlich sein. (Gruppen heißen lokal endlich, wenn jede endlich erzeugte Untergruppe endlich ist.)

Umgekehrt treten Tarski-Gruppen in unendlichen, von zwei Elementen erzeugten M-Gruppen wie folgt auf:

Es seien eine M-Gruppe und zwei Elemente von Primzahlpotenz-Ordnung. Das Erzeugnis dieser beiden Elemente sei unendlich. Dann gilt:^[5][6]

• Ist , so ist eine Tarski-Gruppe.
• Ist , so ist eine erweiterte Tarski-Gruppe.

Es ist klar, dass Tarski-Gruppen Torsionsgruppen sind, denn ist Element einer Tarski-Gruppe , so ist die von erzeugte Untergruppe eine echte Untergruppe, andernfalls wäre zyklisch, also isomorph zu , aber ist keine Tarski-Gruppe. Als echte Untergruppe einer Tarski-Gruppe muss endlich sein, das heißt, ist eine Torsionsgruppe. Daraus erhält man leicht, dass auch erweiterte Tarski-Gruppen Torsionsgruppen sind. Bei der Beschreibung des Untergruppenverbandes wurde bereits festgestellt, dass es sich um M-Gruppen handelt.

Umgekehrt treten Tarski-Gruppen und erweiterte Tarski-Gruppen nach einem Satz von R. Schmidt wie folgt als Bestandteile solcher Gruppen auf:^[7][8][9]

Eine Torsionsgruppe ist genau dann eine M-Gruppe, wenn sie das direkte Produkt von

• Tarski-Gruppen,
• erweiterten Tarski-Gruppen
• und einer lokalendlichen Gruppe,

ist, so dass je zwei Elemente aus verschiedenen direkten Faktoren teilerfremde Ordnungen haben.

Tarski-Gruppen sind einfach.^[10] Sei nämlich ein nicht-trivialer Normalteiler der Tarski-Gruppe . Dann ist endlich und daher unendlich. Ein vom Einselement verschiedenes Element in hat endliche Ordnung und erzeugt daher eine echte, nicht-triviale Untergruppe in . Ihr Urbild unter der Quotientenabbildung ist dann eine Untergruppe, die echt zwischen und liegt. Diese muss endlich von Primzahlordnung sein und mit eine echte Untergruppe enthalten. Dieser Widerspruch zeigt, dass kein Normalteiler sein kann, das heißt, ist einfach.

1. ↑ L. N. Shevrin, A. J. Ovsyannikov: Semigroups and their Subsemigroup Lattices, Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-94-015-8751-8, Kapitel 5.13
2. ↑ Roland Schmidt: Subgroup Lattices of Groups, Walter de Gruyter (1994), ISBN 3-11-011213-2, Seite 82: Torsion groups with modular subgroup lattices
3. ↑ B. H. Neumann: Some new rumors in group theory, Math. Medley 6 (3), Seiten 100–103
4. ↑ A. Yu. Olshanskii: Infinite groups with cyclic subgroups, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 245:4 (1979), 785–787
5. ↑ Roland Schmidt: Subgroup Lattices of Groups, Walter de Gruyter (1994), ISBN 3-11-011213-2, Lemma 2.4.17
6. ↑ Ragmar Rudolph: Ein Untergruppensatz für modulare Gruppen, Monatshefte für Mathematik, Band 94 (1982), Seiten 149–153
7. ↑ P. Pálfy: Groups and Lattices in Groups St Andrews 2001 in Oxford, London Mathematical Society, Lecture Notes Series 305, Band II, Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-53740-1, Seite 432, Theorem 2.5
8. ↑ Roland Schmidt: Subgroup Lattices of Groups, Walter de Gruyter (1994), ISBN 3-11-011213-2, Theorem 2.4.16
9. ↑ Roland Schmidt: Gruppen mit modularem Untergruppenverband, Arch. Math 46, Seiten 118–124 (1986)
10. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kapitel 14.4, Aufgabe 1