Superperfekte Zahl
Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:
- n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn
Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung iteriert).
Beispiele und Eigenschaften
Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:
| Zahl | Superperfekt? | |||
|---|---|---|---|---|
| Ja | ||||
| Nein | ||||
| Nein | ||||
| Nein | ||||
| Nein | ||||
| Ja |
Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).
Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form , wobei eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.
Verallgemeinerung
Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:
- n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn gilt.
Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.
Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte -superperfekte Zahlen:
Die Zahl 21 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:
- Es ist aber auch .
Die Zahl 14 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:
- Es ist aber auch .
Die Zahl 18 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:
- Es ist aber auch .
Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:
| m | k | (m,k)-superperfekte Zahlen | OEIS-Folge |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864 | Folge A019279 in OEIS |
| 2 | 3 | 8, 21, 512 | Folge A019281 in OEIS |
| 2 | 4 | 15, 1023, 29127, 355744082763 | Folge A019282 in OEIS |
| 2 | 6 | 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304 | Folge A019283 in OEIS |
| 2 | 7 | 24, 1536, 47360, 343976 | Folge A019284 in OEIS |
| 2 | 8 | 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360 | Folge A019285 in OEIS |
| 2 | 9 | 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368 | Folge A019286 in OEIS |
| 2 | 10 | 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752 | Folge A019287 in OEIS |
| 2 | 11 | 4404480, 57669920, 238608384 | Folge A019288 in OEIS |
| 2 | 12 | 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680 | Folge A019289 in OEIS |
| 3 | k | 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432 | Folge A019292 in OEIS |
| 4 | k | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440 | Folge A019293 in OEIS |
Literatur
- D. Suryanarayana: Super perfect numbers. In: Elemente der Mathematik, 1969, 24, S. 16–17, digizeitschriften.de
- Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen. Dissertation, Braunschweig 1971
- Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer, 2004, Kapitel B2 und B9, Google books
- G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function. In: Experimental Mathematics, 1993, 5, S. 93–100, projecteuclid.org
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Superperfect Number. In: MathWorld (englisch).
- Superperfect Number. In: PlanetMath. (englisch)