Sexy Primzahl

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz $6$ beträgt, als sexy Primzahlen. Zum Beispiel sind die Zahlen $5$ und $11$ sexy Primzahlen, weil die eine um $6$ kleiner (bzw. um $6$ größer) ist als die andere. Wenn $p$ und $p+6$ sexy Primzahlen sind und $p+2$ oder $p+4$ ebenfalls, dann sind die beiden sexy Primzahlen Teil eines Primzahldrillings.

Der Begriff sexy Primzahlen stammt von sex – dem lateinischen Wort für sechs.

Typen von sexy Primzahl-Gruppen

Sexy Primzahlzwillinge

Sexy Primzahlzwillinge haben die Form $(p,p+6)$ . Es folgt eine Liste der Sexy Primzahlen bis $2.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p	(p+6)
5	11
7	13
11	17
13	19
17	23
23	29
31	37
37	43
41	47
47	53
53	59
61	67
67	73
73	79
83	89
97	103

p	(p+6)
101	107
103	109
107	113
131	137
151	157
157	163
167	173
173	179
191	197
193	199
223	229
227	233
233	239
251	257
257	263
263	269

p	(p+6)
271	277
277	283
307	313
311	317
331	337
347	353
353	359
367	373
373	379
383	389
433	439
443	449
457	463
461	467
503	509
541	547

p	(p+6)
557	563
563	569
571	577
587	593
593	599
601	607
607	613
613	619
641	647
647	653
653	659
677	683
727	733
733	739
751	757
821	827

p	(p+6)
823	829
853	859
857	863
877	883
881	887
941	947
947	953
971	977
977	983
991	997
1013	1019
1033	1039
1063	1069
1087	1093
1091	1097
1097	1103

p	(p+6)
1103	1109
1117	1123
1123	1129
1181	1187
1187	1193
1217	1223
1223	1229
1231	1237
1277	1283
1283	1289
1291	1297
1297	1303
1301	1307
1321	1327
1361	1367
1367	1373

p	(p+6)
1423	1429
1427	1433
1433	1439
1447	1453
1453	1459
1481	1487
1483	1489
1487	1493
1493	1499
1543	1549
1553	1559
1601	1607
1607	1613
1613	1619
1621	1627
1657	1663

p	(p+6)
1663	1669
1693	1699
1741	1747
1747	1753
1753	1759
1777	1783
1783	1789
1861	1867
1867	1873
1871	1877
1873	1879
1901	1907
1907	1913
1973	1979
1987	1993
1993	1999

(Folge A023201 in OEIS) und (Folge A046117 in OEIS)

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov das momentan größte sexy Primzahlpaar mit 51934 Stellen^[1]^[2]. Das Paar (p, p+6) lautet wie folgt:

{\begin{array}{rcl}p&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-5\\p+6&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}

Die Zahl p ist allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie ist momentan nur eine PRP-Zahl, also eine Zahl, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist.

Sexy Primzahldrillinge

Sexy Primzahlen können zu einer größeren Konstellation erweitert werden. Tripel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12)$ heißen sexy Primzahldrillinge, wenn p+18 eine zusammengesetzte Zahl, also keine Primzahl, ist. Die sexy Primzahldrillinge unter 1000 lauten:

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983). (Folge A046118 in OEIS), (Folge A046119 in OEIS) und (Folge A046120 in OEIS).

Am 16. April 2022 entdeckte Serge Batalov den momentan größten sexy Primzahldrilling mit 15004 Stellen.^[3]^[4]^[5] Der Primzahldrilling $(p,p+6,p+12)$ lautet wie folgt:

{\begin{array}{rcl}p&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+1\\p+6&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+7\\p+12&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+13\end{array}}

Die beiden Zahlen p+6 und p+12 sind allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie sind momentan nur PRP-Zahlen, also Zahlen, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit Primzahlen sind.

Sexy Primzahlvierlinge

Quadrupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18)$ heißen sexy Primzahlvierlinge. Die erste Primzahl p muss in ihrer Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 enden (außer dem ersten Vierling mit p=5). Die sexy Primzahlvierlinge unter 1000 lauten:

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

(Folge A023271 in OEIS), (Folge A046122 in OEIS), (Folge A046123 in OEIS) und (Folge A046124 in OEIS).

Im November 2005 entdeckte Jens Kruse Andersen den damals größten sexy Primzahlvierling mit über 1000 Stellen (nämlich 1002 Stellen^[6]). Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p

p=411784973\cdot 2347\#+3301

Dabei ist 2347# = 2 · 3 · 5 · … · 2347 eine Primfakultät, d. h. das Produkt aller Primzahlen ≤ 2347.

Im Oktober 2019 entdeckten Gerd Lamprecht und Norman Luhn den momentan größten sexy Primzahlvierling mit 3025 Stellen.^[7] Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p

p={\frac {121152729080\cdot 7019\#}{1729}}+1

Sexy Primzahlfünflinge

Quintupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18,p+24)$ heißen sexy Primzahlfünflinge. Allerdings muss in einer arithmetischen Folge von fünf Zahlen, die alle eine Differenz von 6 haben, eine Zahl durch 5 teilbar sein. Somit ist der einzige sexy Primzahlfünfling (5, 11, 17, 23, 29).

Eine längere sexy Primzahlfolge kann es daher auch nicht geben.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Einzelnachweise

↑ 11922002779 · (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³ + 2⁸⁶²⁴⁵-5 auf den PrimePages.
↑ 11922002779 · (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³ + 2⁸⁶²⁴⁵+1 auf den PrimePages.
↑ 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 1 auf den PrimePages.
↑ 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 7 auf den PrimePages.
↑ 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 13 auf den PrimePages.
↑ Jens Kruse Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Abgerufen am 30. November 2015. Nicht mehr abrufbar. Link zur Wayback Machine.
↑ Jens Kruse Andersen, http://www.primerecords.dk/cpap.htm#sexy. Abgerufen am 4. Dezember 2019.

Weblinks

Wolfram MathWorld, Sexy Primes. Abgerufen am 30. November 2015.
James Grime: Sexy Primes (and the only sexy prime quintuplet). In: Numberphile. Brady Haran; abgerufen im 1. Januar 1

[1] 11922002779 · (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³ + 2⁸⁶²⁴⁵-5 auf den PrimePages.

[2] 11922002779 · (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³ + 2⁸⁶²⁴⁵+1 auf den PrimePages.

[3] 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 1 auf den PrimePages.

[4] 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 7 auf den PrimePages.

[5] 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 13 auf den PrimePages.

[sexycousin-6] Jens Kruse Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Abgerufen am 30. November 2015. Nicht mehr abrufbar. Link zur Wayback Machine.

[Rekorde-7] Jens Kruse Andersen, http://www.primerecords.dk/cpap.htm#sexy. Abgerufen am 4. Dezember 2019.

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formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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