Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist $p\geq 5$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}

einen durch $p^{2}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).^[1]^[2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

$p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},$ der Zähler $49=1\cdot 7^{2}$ ist durch $7^{2}$ teilbar.
$p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},$ der Zähler $86021=509\cdot 13^{2}$ ist durch $13^{2}$ teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}

durch $p$ teilbar ist.^[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

{\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},

die auch in der Form

{\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:^[4]

Der Zähler von

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}

ist durch

p^{3}

teilbar.

Der Zähler von

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}

ist durch

p^{2}

teilbar.

Es gilt die Kongruenz

{\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.

Es gilt die Kongruenz

{\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.

Der Zähler der Bernoulli-Zahl $B_{p-3}$ ist durch $p$ teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)^[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).^[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein.^[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa $\log(\log(x))$ unterhalb $x$ (McIntosh 1995).^[8]

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

{\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}

für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n.$

Charles Babbage bewies 1819^[10] die Kongruenz

{\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

für jede Primzahl $p>2.$

Joseph Wolstenholme bewies 1862^[1] die Kongruenz

{\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}

für jede Primzahl $p>3.$

Literatur

G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

Weblinks

The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ ^a ^b J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
↑ Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
↑ J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
↑ J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
↑ Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
↑ Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).
↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
↑ Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).

[wolstenholme-1] J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).

[2] Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).

[3] Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).

[4] Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).

[5] J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).

[6] J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).

[7] Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).

[8] Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).

[9] Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).

[10] Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).

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