Satz von Whitehead-Serre

Der Satz von Whitehead-Serre ist ein mathematischer Lehrsatz aus der algebraischen Topologie, speziell der Homotopietheorie.

Homotopiegruppen topologischer Räume sind notorisch schwer zu berechnen, während es für die Berechnung der Homologiegruppen von CW-Komplexen einfache Algorithmen gibt. Der Satz von Whitehead-Serre besagt jedoch, dass für einfach zusammenhängende Räume die rationalen Homotopiegruppen ebenso einfach berechnet werden können wie die rationalen Homologiegruppen.

Er ist nach J. H. C. Whitehead^[1] und Jean-Pierre Serre benannt.

Satz von Whitehead-Serre

Sei

f\colon X\to Y

eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

$f_{*}\otimes id\colon \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}(Y)\otimes \mathbb {Q}$ ist ein Isomorphismus.
$f_{*}\colon H_{*}(X;\mathbb {Q} )\to H_{*}(Y;\mathbb {Q} )$ ist ein Isomorphismus.