Der Satz von Hurwitz (englisch Hurwitz’s theorem) über Quadratsummen ist ein von dem Mathematiker Adolf Hurwitz (1859–1919) im Jahre 1907 vorgelegter Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Zahlentheorie, der sich mit der Frage der Darstellung von Quadratzahlen als Summe dreier anderer Quadratzahlen befasst.^[1][2]

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:^[1][2]

Die einzigen Quadratzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen , welche keine Darstellung als Summe dreier anderer Quadratzahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen haben,^{[A 1]} sind die Zahlen der Form

sowie die Zahlen der Form

.

Der Mathematiker Gordon Pall^{[A 2]} publizierte im Jahre 1933 ein zugehöriges Resultat, auf das man den Quadratsummensatz von Hurwitz zurückführen kann. Dieses besagt:^{[3][A 3]}

Für eine natürliche Zahl gilt stets die folgende Äquivalenz:

ist darstellbar als Summe von vier Quadratzahlen in der Form .^{[A 4]} .

In seiner Publikation aus dem Jahre 1933 behandelte Pall auch den Fall von vier verschiedenen Quadratzahlen:^[4]

Die einzigen natürlichen Zahlen , für die keine Darstellung als Summe von vier verschiedenen ganzen Quadratzahlen existiert, sind die Zahlen der Form mit .

Der Beweis des ersten Satzes von Pall (s. o.) lässt sich zurückführen auf ein klassisches Resultat der Zahlentheorie, welches zuerst von Carl Friedrich Gauß gezeigt wurde und wie folgt lautet:^{[5][A 5]}

Eine jede natürliche Zahl mit ist stets als Summe dreier (nicht notwendig verschiedener) ganzer Quadratzahlen darstellbar.

• Vier-Quadrate-Satz von Lagrange
• Drei-Quadrate-Satz

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155). 
• Adolf Hurwitz: Sommes de trois carrés. In: L'Intermédiaire des mathématiciens. Band 14, 1907, S. 106–107. 
• Gordon Pall: On Sums of Squares. In: American Mathematical Monthly. Band 40, 1933, S. 10–18 (MR1522677). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 

1. ↑ ^{a b} Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 406–407
2. ↑ ^{a b} Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 79
3. ↑ Sierpiński, op. cit., S. 402
4. ↑ Sierpiński, op. cit., S. 407
5. ↑ Sierpiński, op. cit., S. 391,402

1. ↑ Hier ist zu beachten. Die genannten drei Quadratzahlen sind also durchweg , brauchen jedoch nicht verschieden zu sein.
2. ↑ Gordon Pall (1907–1987) war ein kanadischer Mathematiker und promovierte im Jahre 1929 an der Universität von Chicago unter der Anleitung von Leonard Eugene Dickson zum Ph.D.
3. ↑ Wie in der Fußnote auf Seite 402 der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) angemerkt ist, wurde dieser Satz schon von René Descartes vermutet.
4. ↑ Diese vier Quadratzahlen sind also durchweg , brauchen jedoch nicht verschieden zu sein.
5. ↑ Dies ist im Wesentlichen der Drei-Quadrate-Satz, der auch Adrien-Marie Legendre zugewiesen wird.