Wachstum (Gruppentheorie)

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge $n$ aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

Es sei $(V,E)$ ein Graph und $v_{0}\in V$ ein fest gewählter Knoten.

Für $n\in \mathbb {N}$ sei $a_{n}$ die Anzahl der Knoten $v\in V$ , für die es einen Weg aus maximal $n$ Kanten von $v_{0}$ nach $v$ gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge $(a_{n})_{n}$ .

Wachstum von Gruppen

Es sei $G$ eine endlich erzeugte Gruppe und $S$ ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe $G$ bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für $S$ .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist $S=\{s_{1},\dots ,s_{k}\}$ , so lässt sich jedes Gruppenelement $g\in G$ als Wort $g=s_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots s_{i_{m}}^{e_{m}}$ schreiben, wobei $m\in \mathbb {N}$ , die Indizes $i_{1},\dots ,i_{m}$ Elemente von $\{1,\dots ,n\}$ und die Exponenten $e_{1},\dots ,e_{m}\in \mathbb {Z}$ beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ sei $a_{n}$ die Anzahl der Elemente von $G$ , die eine solche Schreibung mit $|e_{1}|+\dots +|e_{m}|\leq n$ besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe $G$ ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge $(a_{n})_{n}$ .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen $(a_{n})_{n}$ , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe $G$ und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele

Das Wachstum von $\mathbb {Z}$ ist linear.
Das Wachstum von $\mathbb {Z} ^{2}$ ist quadratisch.
Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad $\sum rk(L_{i}(G))$ , wobei $L_{i}(G)$ die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von $G$ und $rk(L_{i}(G))$ ihr Rang sind.
Satz von Gromow: Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.^[1]^[2]
Satz von Milnor-Wolf: Eine auflösbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum.
Die Grigortschuk-Gruppe hat subexponentielles, aber nicht polynomielles Wachstum.^[3]
Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell.
Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung haben exponentielles Wachstum.^[4]

Literatur

J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

Weblinks

M. Duchin: Counting in Groups: Fine Asymptotic Geometry, Notices of the American Mathematical Society, September 2016

Einzelnachweise

↑ M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
↑ B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
↑ R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
↑ J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.

[1] M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.

[2] B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.

[3] R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.

[4] J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.

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